/Szkoła średnia

Lubelska próba przed maturą
z matematyki poziom rozszerzony 28 lutego 2017 Czas pracy: 180 minut

Zadania zamknięte

Zadanie 1

(1 pkt)

Zbiorem wartości funkcji ∘ --√--------- f (x) = − −x − 4 jest
A) {0 } B) zbiór pusty C) (0,+ ∞ ) D) (−∞ ,− 4)

Zadanie 2

(1 pkt)

Dziedziną funkcji ( ) f (x) = log log 1 (log x) 2015 2015 2015 jest przedział
A) (201 5,+ ∞ ) B) (1,2015) C) (0,+ ∞ ) D) (0,2015)

Zadanie 3

(1 pkt)

Okrąg o środku w punkcie S(− 1;2) jest styczny do prostej o równaniu 4x − 3y + 3 = 0 . Promień okręgu jest równy:
A) 2 5 B) 1 C) 7 5 D) √ -- 8

Zadanie 4

(1 pkt)

Wycinek kołowy o kącie środkowym ∘ 120 i polu zwinięto w stożek. Promień podstawy tego stożka jest równy:
A) 2,5 B) 2 C) 1,6 D) 1

Zadanie 5

(1 pkt)

W czworościanie foremnym cosinus kąta dwuściennego między dwiema sąsiednimi ścianami jest równy
A) 0 B) 0,25 C) 1 3 D)

Zadania otwarte

Zadanie 6

(2 pkt)

Oblicz granicę x3−x2+x−-1 lixm→1 2x3−2 .

Zadanie 7

(3 pkt)

Udowodnij, że dla każdej liczby rzeczywistej prawdziwa jest nierówność

4 2 x − x − 2x + 3 > 0.

Zadanie 8

(4 pkt)

Rozwiąż równanie:

1 − 3n x2 + 2x3 + 4x4 + ...= lim -------, n→ +∞ 2 − 9n

gdzie lewa strona równania jest sumą nieskończonego ciągu geometrycznego.

Zadanie 9

(4 pkt)

Dla jakich wartości parametru k ∈ R równanie 6 6 sin x + cos x = k ma rozwiązanie?

Zadanie 10

(4 pkt)

Oblicz pole trójkąta utworzonego przez osie układu współrzędnych i przez prostą o ujemnym współczynniku kierunkowym do której należy punkt A = (1,1) . Dla jakiej wartości pole tego trójkąta jest najmniejsze?

Zadanie 11

(4 pkt)

W pewnym przedsiębiorstwie 9% wyrobów jest brakami. Na 100 dobrych wyrobów 70 jest pierwszego gatunku. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wylosowany wyrób jest pierwszego gatunku?

Zadanie 12

(4 pkt)

Wysokość podstawy graniastosłupa prawidłowego trójkątnego ma długość 4 √ 3- , zaś przekątna ściany bocznej tworzy z krawędzią podstawy kąt równy π- 3 . Graniastosłup ten wpisano w walec. Oblicz pole powierzchni i objętość walca.

Zadanie 13

(5 pkt)

Dla jakich wartości parametru równanie |x + a| = 1 − ||x− 2|− 3| ma dokładnie 2 rozwiązania?

Zadanie 14

(5 pkt)

Wyznacz równania wszystkich stycznych do wykresu funkcji -x-- f(x) = 1−x2 , x ∈ R ∖{ − 1,1} nachylonych do osi pod kątem 45∘ .

Zadanie 15

(5 pkt)

Dany jest wielomian 5 4 3 W (x) = x − x + nx + kx + m . Wyznacz wszystkie wartości parametrów n ,k,m dla których reszta z dzielenia wielomianu W (x) przez wielomian P (x) = (x2 − 1)(x − 2) jest równa R (x) = x − 4 .