/Szkoła średnia

Próbny Egzamin Maturalny
z Matematyki Zestaw przygotowany przez serwis www.zadania.info poziom podstawowy 17 marca 2018 Czas pracy: 170 minut

Zadania zamknięte

Zadanie 1
(1 pkt)

Liczba √6----- √3---- 0,25 ⋅ 0,4 jest równa
A) -1 53 B) 125 C) 0,04 D) 1 5− 3

Zadanie 2
(1 pkt)

Iloczyn dodatnich liczb a i b jest równy 700. Ponadto 70% liczby a jest równe 40% liczby b . Stąd wynika, że b jest równe
A) 49 B) 35 C) 45 D) 50

Zadanie 3
(1 pkt)

Liczba 320 ⋅ 914 jest równa
A) 350 B) 934 C) 81 13 D) 16 27

Zadanie 4
(1 pkt)

Punkt A = (0 ,2018) należy do wykresu funkcji f określonej wzorem
A) 2 f(x ) = (x + 2018)
B) 2 f(x) = x − 2 018
C) f(x ) = (x+ 2018)(x − 20 18)
D) 2 f(x ) = x + 2018

Zadanie 5
(1 pkt)

Równość √ -- √ --2 √ --2 ( 2 − x 2) = (2− 2) jest
A) prawdziwa dla √ -- x = − 2 .
B) prawdziwa dla √ -- x = 2 .
C) prawdziwa dla x = − 1 .
D) fałszywa dla każdej liczby x .

Zadanie 6
(1 pkt)

Rozwiązaniami równania √- √- (x−-23)(x√+--2) = 0 x − 3x jest
A) tylko √ -- x = 3 B) √ -- x = − 2 i √ -- x = 3 C) tylko √ -- x = − 2 D) x = 0 i -- x = √ 3

Zadanie 7
(1 pkt)

Liczba log3 |log0 ,2− log 200| jest równa liczbie
A) − 1 B) 0 C) 1 D) 3

Zadanie 8
(1 pkt)

Rozważmy treść następującego zadania:
Pole prostokąta o bokach długości a i b jest równe 40. Jeden z boków tego prostokąta jest o 15 krótszy od drugiego. Oblicz długości boków tego prostokąta.
Który układ równań opisuje zależności między długościami boków tego prostokąta?
A) { 2 (a+ b ) = 40 a + 15 = b B) { 2ab = 4 0 b− 15 = a C) { ab = 40 a − b = 15 D) { ab = 40 15a = b

Zadanie 9
(1 pkt)

Jednym z miejsc zerowych funkcji kwadratowej √ -- f(x ) = 2(x2 − 1) − 8 jest liczba
A) ∘ -√------- − 4 2 + 1 B) ∘ -√------- 4 2 − 1 C) √ -- 2 2 + 1 D) √ -- 2 2 − 1

Zadanie 10
(1 pkt)

Funkcja kwadratowa f jest określona wzorem f(x) = x 2 + bx + c oraz f (− 3) = f(1) = 1 . Współczynnik b jest równy
A) 0 B) 1 C) 2 D) − 3

Zadanie 11
(1 pkt)

Gdy przesuniemy wykres funkcji f(x) = 3x − 2 o 3 jednostki w lewo i 2 jednostki w dół, to otrzymamy wykres funkcji opisanej wzorem
A) y = 3x − 9 B) y = 3x − 13 C) y = 3x + 9 D) y = 3x+ 5

Zadanie 12
(1 pkt)

Na płaszczyźnie z układem współrzędnych proste k i l przecinają się pod kątem prostym w punkcie A = (5,− 3) . Prosta k jest określona równaniem y = 5x − 28 . Zatem prostą l opisuje równanie
A) y = − 15x+ 2 B) y = 15x− 4 C) y = − 1x− 2 5 D) y = − 5x + 22

Zadanie 13
(1 pkt)

Dany jest czterowyrazowy ciąg arytmetyczny (13,a + 3,a − 4,− 8) . Wynika stąd, że
A) a = 1 B) a = − 2 C) a = 3 D) a = 6

Zadanie 14
(1 pkt)

W rosnącym ciągu geometrycznym (an) , określonym dla n ≥ 1 , spełniony jest warunek 4a2 = a a 5 4 3 . Iloraz tego ciągu jest równy
A) 12 B) 3√- -22- C) √1- 2 D) √3-- 4

Zadanie 15
(1 pkt)

Kąt α jest rozwarty i spełniona jest równość 2√ 6 sin α = --7- . Stąd wynika, że
A) cosα = − 57 B) co sα = 57 C) 5√-6- co sα = 7 D) 5√6- cosα = − 7

Zadanie 16
(1 pkt)

W trójkącie ABC punkt D leży na boku AB , punkt E leży na boku AC , a ponadto odcinek DE jest równoległy do boku BC i |DB | = 7 . Pole trójkąta ADE jest równe 12, a pole trapezu DBCE jest równe 15 (zobacz rysunek).

PIC

Odcinek AD ma długość
A) 5,6 B) 12 C) 14 D) 9

Zadanie 17
(1 pkt)

Obwód trójkąta DBC , przedstawionego na rysunku, jest równy

PIC

A) √ -- √ -- a(1 − 3 + 2) B) √ -- √ -- a (2+ 3 − 2 ) C) √ -- √ -- a(1 + 3 + 2) D) √ -- √ -- a(2 − 3 + 2)

Zadanie 18
(1 pkt)

Punkty C = (3 ,−4 ) i D = (− 6,2) są dwoma sąsiednimi wierzchołkami kwadratu ABCD . Pole tego kwadratu jest równe
A) 117 B) 85 C) 13 D) 45

Zadanie 19
(1 pkt)

W okręgu o środku w punkcie S poprowadzono cięciwę AB , która utworzyła z promieniem AS kąt o mierze 3 7∘ (zobacz rysunek). Promień tego okręgu ma długość 10. Długość cięciwy AB jest liczbą z przedziału

PIC

A) ⟨4,8⟩ B) (12,16⟩ C) (1 6,20⟩ D) (8,12⟩

Zadanie 20
(1 pkt)

Ile jest wszystkich liczb pięciocyfrowych, większych 53079, utworzonych wyłącznie z cyfr 2, 3, 4, 5 przy założeniu, że cyfry mogą się powtarzać, ale nie wszystkie z tych cyfr muszą być wykorzystane?
A) 48 B) 15 C) 128 D) 192

Zadanie 21
(1 pkt)

Pole powierzchni całkowitej graniastosłupa prawidłowego czworokątnego, w którym wysokość jest 3 razy krótsza od krawędzi podstawy, jest równe 60. Zatem krawędź podstawy tego graniastosłupa jest równa
A) √ -- 9 3 B) √ -- 3 2 C) √ -- 10 2 D) √ -- 2 3

Zadanie 22
(1 pkt)

Pole powierzchni bocznej walca jest równe 24π , a promień jego podstawy ma długość 4. Wysokość tego walca jest równa
A) 6 B) 3 C) 6π D) 3π

Zadanie 23
(1 pkt)

Prosta l tworzy z osią Ox kąt ∘ 60 i przecina oś Oy w punkcie √ -- (0,− 3) (zobacz rysunek).

PIC

Prosta l ma równanie
A) √ -- √ -- y = 3x− 3 B) √ -- √ -- y = 3x+ 3 C) y = − √ 3x + √ 3- D) √ -- √ -- y = − 3x− 3

Zadanie 24
(1 pkt)

Punkt O jest środkiem okręgu (rysunek).

PIC

Miara kąta α jest równa
A) 110 ∘ B) 70∘ C) 16 0∘ D) 14 0∘

Zadanie 25
(1 pkt)

Ze zbioru pięćdziesięciu kolejnych liczb naturalnych od 1 do 50 losujemy dwie liczby a i b takie, że a < 25 < b < 50 . Prawdopodobieństwo, że liczba a⋅b jest podzielna przez 50 jest równe
A) 316 B) 148- C) 214 D) -1 56

Zadania otwarte

Zadanie 26
(2 pkt)

Rozwiąż nierówność 4x 2 + 9x − 9 ≥ 0 .

Zadanie 27
(2 pkt)

Kąt α jest ostry oraz tg α = 1 3 . Oblicz wartość wyrażenia sin3α−-sinα- cos3α− cosα .

Zadanie 28
(2 pkt)

W ciągu arytmetycznym (an) , określonym dla n ≥ 1 , dane są: wyraz a1 = 7 i suma czterech początkowych wyrazów tego ciągu S4 = 40 . Oblicz różnicę a19 − a 15 .

Zadanie 29
(2 pkt)

Rozwiąż równanie (4x + 3 )(x2 − 8) = 0 .

Zadanie 30
(2 pkt)

W trójkącie prostokątnym jedna przyprostokątna jest 3 razy dłuższa od drugiej. Wykaż, że wysokość opuszczona na przeciwprostokątną dzieli ją na odcinki, z których jeden jest 9 razy dłuższy od drugiego.

Zadanie 31
(2 pkt)

Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych x,y prawdziwa jest nierówność

x4 + y4 + x2 + y2 ≥ 2xy (x + y).

Zadanie 32
(4 pkt)

Funkcja kwadratowa f jest określona dla wszystkich liczb rzeczywistych x wzorem f(x) = ax 2 + bx + c . Najmniejsza wartość funkcji f jest równa − 1 oraz f (2) = f(0) = − 2 3 . Oblicz wartość współczynnika a .

Zadanie 33
(5 pkt)

Podstawą ostrosłupa ABCDS jest romb ABCD . Krawędź SC jest prostopadła do płaszczyzny podstawy, krawędź AS ma długość 4 i jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 30 ∘ . Krawędź SD ma długość √ -- 2 2 . Oblicz objętość tego ostrosłupa.

PIC

Zadanie 34
(4 pkt)

Dane są punkty A = (3,1) i B = (− 1,4) oraz prosta k o równaniu y = − 2x + 1 . Wyznacz taki punkt C prostej k , aby suma kwadratów boków trójkąta ABC była najmniejsza możliwa. Oblicz tę najmniejszą sumę kwadratów długości boków.

Arkusz Wersja PDF
Rozwiązania