/Szkoła średnia

Próbny Egzamin Maturalny
z Matematyki Zestaw przygotowany przez serwis zadania.info poziom rozszerzony 2 kwietnia 2022 Czas pracy: 180 minut

Zadania zamknięte

Zadanie 1
(1 pkt)

Wartość wyrażenia ( ) (√ 3-− 1)2 + (√ 3+ 1)2 3 jest równa
A) 512 B) 0 C) √ -- − 2 4 3 D) √ -- − 192 3

Zadanie 2
(1 pkt)

Granica lim xx−+-32 x→− 2
A) nie istnieje B) jest równa − ∞ C) jest liczbą rzeczywistą D) jest równa + ∞

Zadanie 3
(1 pkt)

Wyrażenie 2 sin x cos4x jest równe
A) cos5x − sin 3x B) cos5x − co s3x C) sin 5x − sin3x D) sin 5x − cos 3x

Zadanie 4
(1 pkt)

Liczba różnych pierwiastków równania x2 + 0,25 = |x| jest równa
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3

Zadania otwarte

Zadanie 5
(2 pkt)

W wyniku dzielenia wielomianu 2x3 − x2 − 6x + 5 przez dwumian x2 − 4 otrzymujemy resztę postaci ax + b . Oblicz a i b .

Zadanie 6
(3 pkt)

Dane są wektory → a = [1,− 2] , → b = [− 2,− 1] , → c = [3,4] . Dobierz wartości parametrów p ,q ∈ R tak, aby wektory −→ → AB = p a , −→ → BC = qb i −→ → CA = c tworzyły trójkąt ABC .

Zadanie 7
(3 pkt)

Wykaż, że jeżeli a > b ≥ 1 , to 2+aa3 < 2+bb-3 .

Zadanie 8
(3 pkt)

Dany jest trójkąt równoboczny ABC . Na bokach BC i CA wybrano punkty – odpowiednio – D i E takie, że |CD | = |AE | = 14 |AB | . Odcinki AD i BE przecinają się w punkcie P (zobacz rysunek).

PIC

Wykaż, że pole trójkąta AP E jest 52 razy mniejsze od pola trójkąta ABC .

Zadanie 9
(4 pkt)

Dane są prosta k o równaniu x− 3y = 0 i prosta l o równaniu 3x + y − 2 = 0 . Punkt P leży na prostej o równaniu y = x − 6 . Odległość punktu P od prostej k jest trzy razy większa niż odległość punktu P od prostej l . Oblicz współrzędne punktu P .

Zadanie 10
(4 pkt)

Suma czterech początkowych wyrazów ciągu (an) określonego dla n ≥ 0 jest równa (− 12 ) . Ponadto dla każdej liczby całkowitej n ≥ 0 spełniony jest warunek lo g1(an − an+ 1) = − 2 2 . Oblicz nieskończoną sumę

( )a0 ( )a 1 ( )a2 3- + 3- + 3- + ... 2 2 2

Zadanie 11
(4 pkt)

Odległość wierzchołka sześcianu od przekątnej sześcianu (do której dany wierzchołek nie należy) jest równa 4 cm. Oblicz objętość sześcianu.

Zadanie 12
(5 pkt)

Rozwiąż równanie tg 3x − tg x− 4sin x = 0 w przedziale ⟨0 ,π⟩ .

Zadanie 13
(5 pkt)

Trzy cięciwy okręgu o promieniu r tworzą trójkąt wpisany w ten okrąg. Dwie najkrótsze z tych cięciw mają długości 12r i √ -- r 3 . Wykaż, że trzecia cięciwa ma długość √ - 1+34--5r .

Zadanie 14
(6 pkt)

Dla jakich wartości parametru m równanie 4x 5 + 4(1 − m )x3 + (m 2 − 4)x = 0 ma dokładnie trzy różne rozwiązania?

Zadanie 15
(7 pkt)

W każdej z czterech urn są 24 kule, w tym dokładnie k białych. Z każdej urny losujemy jedną kulę. Dla jakiej wartości k prawdopodobieństwo wylosowania dokładnie dwóch kul białych jest największe? Oblicz to największe prawdopodobieństwo.

Arkusz Wersja PDF
Rozwiązania