/Szkoła średnia

Próbny Egzamin Maturalny
z Matematyki Zestaw przygotowany przez serwis www.zadania.info poziom podstawowy 18 marca 2017 Czas pracy: 170 minut

Zadania zamknięte

Zadanie 1
(1 pkt)

Liczba 6 5 8-⋅75 56 jest równa
A) 8 B) 5 56 C) 7 D) 25 56

Zadanie 2
(1 pkt)

Liczba log √ -(√ 2) 2 2 jest równa
A) 2 3 B) 1 2 C) 2 5 D) 1 3

Zadanie 3
(1 pkt)

Na lokacie złożono 2000 zł przy rocznej stopie procentowej p % (procent składany). Odsetki naliczane są co pół roku. Po upływie dwóch lat wielkość kapitału na lokacie będzie równa
A) ( 4p-) 200 0⋅ 1+ 200 B) ( p-) 4 20 00⋅ 1+ 200 C) ( ) 2000 ⋅ 1 + p-- 400 D) ( p )4 20 00⋅ 1+ 100-

Zadanie 4
(1 pkt)

Liczba ---1---- (2−√ 3)2 jest równa
A) √ -- 7 + 2 3 B) √ -- 7+ 4 3 C) √ -- 1 + 2 3 D) √ -- 1 + 4 3

Zadanie 5
(1 pkt)

Najmniejszą liczbą całkowitą spełniającą nierówność x √ -- 7 + 5 > 0 jest
A) 15 B) 16 C) − 15 D) − 16

Zadanie 6
(1 pkt)

Proste o równaniach x + 7y + 5 = 0 i 2x − 3y + k = 0 przecinają się na osi Ox . Zatem parametr k jest równy
A) k = − 1 0 B) k = − 14 C) k = 14 D) k = 10

Zadanie 7
(1 pkt)

Spośród liczb, które są rozwiązaniami równania 2 2 (x + 8)(x − 4)(x + 16 ) = 0 , wybrano największą i najmniejszą. Suma tych dwóch liczb jest równa
A) − 6 B) − 10 C) 6 D) 24

Zadanie 8
(1 pkt)

Pierwszy wyraz ciągu geometrycznego jest równy (−7 ) , a czwarty wyraz tego ciągu jest równy 875. Iloraz tego ciągu jest równy
A) 294 B) − 10 C) − 5 D) − 125

Zadanie 9
(1 pkt)

Sinus kąta ostrego równoległoboku jest równy 3 5 . Suma cosinusów wszystkich kątów wewnętrznych tego równoległoboku jest równa
A) 0 B) 16 5 C) 16 − 5 D) 125

Informacja do zadań 10 i 11

Na rysunku przedstawiony jest fragment paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej f . Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt W = (− 2,− 9) . Liczby − 5 i 1 to miejsca zerowe funkcji f .

PIC
Zadanie 10
(1 pkt)

Zbiorem wartości funkcji f jest przedział
A) (− ∞ ,− 5⟩ B) ⟨− 5,1⟩ C) ⟨− 9,+ ∞ ) D) ⟨1 ,+ ∞ ⟩

Zadanie 11
(1 pkt)

Największa wartość funkcji f w przedziale ⟨− 3,− 1⟩ jest równa
A) − 9 B) − 8 C) − 5 D) 0

Zadanie 12
(1 pkt)

Wyrażenie (x − y)4 jest równe
A) 4 4 x − y
B) x4 + y4 − 4x3y − 4xy 3 + 2x 2y2
C) x4 − 2x2y 2 + y4
D) x 4 + y 4 − 4x 3y− 4xy3 + 6x 2y 2

Zadanie 13
(1 pkt)

Jeżeli a jest liczbą ujemną i |a| 3 b = a ⋅a , to
A) b > 0 B) b < 0 C) b = a D) b = a3

Zadanie 14
(1 pkt)

Na rysunku jest przedstawiona prosta zawierająca przekątną AC rombu ABCD oraz wierzchołki A = (− 2,1) i C = (4,5) tego rombu.

PIC

Wskaż równanie prostej zawierającej przekątną BD tego rombu.
A) y = − 23x+ 131 B) y = − 32 x+ 4 C) y = −x + 4 D) y = − 3x + 9 2 2

Zadanie 15
(1 pkt)

Ciąg (a − 3,b,2a + 1,c) jest arytmetyczny i suma trzech jego początkowych wyrazów jest równa 78. Liczba c jest równa
A) c = 3 7 B) c = 26 C) c = 48 D) c = 3 9

Zadanie 16
(1 pkt)

Wieża Eiffla ma wysokość 300 m, a pantofelek ma długość 0,3 mm. Ile razy wieża Eiffla jest wyższa od długości pantofelka?
A) 6 10 B) 7 1 0 C) 1000 D) 8 10

Zadanie 17
(1 pkt)

Punkty A,B ,C i D leżą na okręgu o środku S . Cięciwa CD przecina średnicę AB tego okręgu w punkcie E tak, że |∡BED | = 8 2∘ . Kąt środkowy BSC ma miarę 78 ∘ (zobacz rysunek).

PIC

Kąt wpisany BCD ma miarę
A) 24∘ B) 2 9∘ C) 31∘ D) 36∘

Zadanie 18
(1 pkt)

Z pudełka z metalowymi kulkami wyjęto najpierw 105 kulek, a potem 1 3 kulek, które pozostały w pudełku. W wyniku tych dwóch operacji liczba kulek w pudełku zmniejszyła się czterokrotnie. Ile kulek było początkowo w pudełku?
A) 171 B) 216 C) 168 D) 144

Zadanie 19
(1 pkt)

Okręgi o promieniach 3 i 4 są styczne zewnętrznie. Prosta styczna do okręgu o promieniu 3 w punkcie P przechodzi przez środek okręgu o promieniu 4 (zobacz rysunek).

PIC

Pole trójkąta, którego wierzchołkami są środki okręgów i punkt styczności P , jest równe
A) 21 B) 3 √ 40- C) √ --- 3 1 0 D) 24

Zadanie 20
(1 pkt)

Do okręgu o środku O poprowadzono z zewnętrznego punktu P dwie styczne przecinające się w P pod kątem 50∘ (zobacz rysunek). Punktami styczności są, odpowiednio, punkty A i B .

PIC

Kąt AOB ma miarę
A) 90∘ B) 1 20∘ C) 130 ∘ D) 150∘

Zadanie 21
(1 pkt)

Doświadczenie losowe polega na rzucie dwiema symetrycznymi monetami i sześcienną kostką do gry. Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wynikiem rzutu jest co najmniej jedna reszka i trzy oczka na kostce, jest równe
A) 16 B) 18 C) 112 D) 1 3

Zadanie 22
(1 pkt)

Średnia arytmetyczna czterech liczb: 6x + 2,11x ,7x − 3 i 8x + 1 jest równa 88. Wynika stąd, że
A) x = 9 B) x = 10 C) x = 11 D) x = 12

Zadanie 23
(1 pkt)

Średnica podstawy stożka ma długość √ -- 3 , a jego tworząca ma długość 1. Tangens kąta rozwarcia tego stożka jest równy
A) √ -- − 3 B) √ -- 3 C) √ 3 − -3- D) √ - --3 3

Zadanie 24
(1 pkt)

Ostrosłup ma tyle samo krawędzi bocznych, ile przekątnych ma jego podstawa. Liczba wszystkich wierzchołków tego ostrosłupa jest równa
A) 5 B) 6 C) 12 D) 10

Zadania otwarte

Zadanie 25
(2 pkt)

Rozwiąż nierówność 5x 2 − 3x < 6x2 − 5x .

Zadanie 26
(2 pkt)

Wiedząc, że π ≈ 3,141 5 oblicz |x| , gdzie x = |3− π |− |2 π − 6|+ |31 − 1 0π| .

Zadanie 27
(2 pkt)

W skończonym ciągu arytmetycznym (a ) n pierwszy wyraz a 1 jest równy 9 oraz ostatni wyraz a n jest równy 93. Suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa 2295. Oblicz, ile wyrazów ma ten ciąg.

Zadanie 28
(2 pkt)

Udowodnij, że jeżeli liczby b,d,b + d,b − d są różne od zera oraz a c b = d , to a+c- a−c- b+d = b−d .

Zadanie 29
(2 pkt)

Przekątne rombu ABCD przecinają się w punkcie S . Punkt K jest takim punktem boku AB , że odcinek DK jest wysokością rombu (zobacz rysunek).

PIC

Wykaż, że jeżeli trójkąty DKB i CSB są przystające, to punkt K jest środkiem odcinka AB .

Zadanie 30
(4 pkt)

Mianownik ułamka jest dodatni i o 1 większy od licznika. Jeżeli do tego ułamka dodamy jego odwrotność to otrzymamy 2,05. Wyznacz ten ułamek.

Zadanie 31
(4 pkt)

W trapezie ABCD o podstawach AB i CD dane są długości przekątnych |AC | = 8 i |BD | = 1 2 oraz pola PABG = 18 i PCDG = 2 . Punkty E i F są środkami odpowiednio przekątnych BD i AC .

PIC

Oblicz pole trapezu ABEF .

Zadanie 32
(4 pkt)

Niech K 1 będzie sześcianem o krawędzi długości a . Konstruujemy kolejno sześciany K 2,K3,... takie, że pole powierzchni całkowitej kolejnego sześcianu jest dwa razy większe od pola powierzchni poprzedniego sześcianu. Oblicz sumę objętości sześcianów K ,K ,...,K 1 2 8 .

Zadanie 33
(4 pkt)

Ze zbioru wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych losujemy kolejno dwa razy po jednej liczbie bez zwracania. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że jedna z wylosowanych liczb jest o 85 większa od drugiej. Wynik zapisz w postaci ułamka zwykłego nieskracalnego.

Arkusz Wersja PDF
Rozwiązania