/Szkoła średnia

Egzamin Maturalny
z Matematyki poziom rozszerzony
(stara formuła) 9 maja 2016 Czas pracy: 180 minut

Zadanie 1
(3 pkt)

Niech lo g74 = a . Wyznacz lo g√- 49 2 w zależności od a .

Zadanie 2
(5 pkt)

Wielomian W (x) = 2x3 + mx 2 − 22x + n jest podzielny przez każdy z dwumianów x + 3 i x − 4 . Oblicz wartości współczynników n i m oraz rozwiąż nierówność W (x) ≥ 0 .

Zadanie 3
(4 pkt)

Rozwiąż równanie − 2 cos2x + 3 sinx + 3 = 0 w przedziale ⟨0,2π⟩ .

Zadanie 4
(6 pkt)

Ciąg (a,4,b,c) jest arytmetyczny, a ciąg (a,a+ b,4c) jest geometryczny. Oblicz a,b i c .

Zadanie 5
(6 pkt)

W trapezie równoramiennym ABCD , w którym AB ∥ CD , dane są |AB | = 84 , |CD | = 36 , |BC | = |AD | = 40 . Oblicz promień okręgu wpisanego w trójkąt ABP , gdzie P jest punktem przecięcia przekątnych tego trapezu.

Zadanie 6
(6 pkt)

Punkty A = (1,1) i B = (6,2) są wierzchołkami trójkąta ABC . Wysokości trójkąta ABC przecinają się w punkcie M = (3,3) . Oblicz pole tego trójkąta.

Zadanie 7
(3 pkt)

Reszta z dzielenia liczby naturalnej a przez 6 jest równa 1. Reszta z dzielenia liczby naturalnej b przez 6 jest równa 5. Uzasadnij, że liczba a2 − b2 jest podzielna przez 24.

Zadanie 8
(6 pkt)

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym ABCDS o podstawie ABCD wysokość jest równa 5, a kąt między sąsiednimi ścianami bocznymi ostrosłupa ma miarę ∘ 12 0 . Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Zadanie 9
(3 pkt)

Dany jest okrąg o średnicy AB i środku S oraz dwa okręgi o średnicach AS i BS . Okrąg o środku M i promieniu r ma z każdym z danych okręgów dokładnie jeden punkt wspólny (zobacz rysunek). Wykaż, że r = 16|AB | .

PIC

Zadanie 10
(5 pkt)

W urnie znajduje się 20 kul: 9 białych, 9 czerwonych i 2 zielone. Z tej urny losujemy bez zwracania 3 kule. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że co najmniej dwie z wylosowanych kul są tego samego koloru.

Zadanie 11
(3 pkt)

Rozpatrujemy wszystkie liczby naturalne dziesięciocyfrowe, w zapisie których mogą występować wyłącznie cyfry 1, 2, 3, przy czym cyfra 1 występuje dokładnie trzy razy. Uzasadnij, że takich liczb jest 15 360.

Arkusz Wersja PDF
Rozwiązania