/Szkoła średnia

Lubelska próba przed maturą
z matematyki (dla klas drugich)
poziom rozszerzony grupa I 2 czerwca 2015 Czas pracy: 180 minut

Zadania zamknięte

Zadanie 1
(1 pkt)

Ile rozwiązań ma równanie ||x + 3|− 4| = 2 ?
A) 0 B) 2 C) 4 D) 6

Zadanie 2
(1 pkt)

Reszta z dzielenia wielomianu W (x) = 2x3 + 3x2 − ax + 1 przez dwumian x+ 2 jest równa − 13 . Zatem
A) a = − 5 B) a = 5 C) a = − 2 D) a = 2

Zadanie 3
(1 pkt)

Jeżeli 1 sin α = − 3 i ∘ ∘ α ∈ (2 70 ,360 ) to
A) √- cos(90∘ − α) = −-2-2 3
B) ∘ 2√ 2 cos(90 + α ) = -3--
C) √ - tg(18 0∘ − α) = − --2 4
D) √ - tg(1 80∘ + α) = − -42

Zadanie 4
(1 pkt)

Okrąg 2 2 (x + 3) + (y − 2) = 2 5 jest styczny do prostej
A) x = − 2 B) y = 3 C) y = 34x D) y = 34x − 2

Zadanie 5
(1 pkt)

Jeżeli log2 3 = a to wyrażenie lo g29 + log3 16 jest równe
A) 6a B) 2a + 4 a C) 16 9a + a D) 6 a

Zadania otwarte

Zadanie 6
(2 pkt)

W trójkącie kąt między bokami o długościach 8 i 6 jest równy 120∘ . Jaką długość ma trzeci bok trójkąta?

Zadanie 7
(2 pkt)

Określono ciąg wzorem rekurencyjnym: { a = 6 1 an+ 1 = 5an − 3. Jaką wartość ma 5 wyraz tego ciągu?

Zadanie 8
(2 pkt)

Przybliżenie z nadmiarem liczby x jest równe 15, a błąd względny tego przybliżenia wynosi 0,025. Wyznacz liczbę x .

Zadanie 9
(2 pkt)

Wykaż, że suma sześcianów trzech kolejnych liczb naturalnych parzystych jest podzielna przez 24.

Zadanie 10
(3 pkt)

Wykaż, że punkt przecięcia przekątnych trapezu leży na prostej przechodzącej przez środki jego podstaw.

Zadanie 11
(5 pkt)

Dla jakich wartości parametru m ∈ R suma odwrotności kwadratów dwóch różnych miejsc zerowych funkcji f (x) = x2 + (m + 1)x+ 3− m jest większa od 1?

Zadanie 12
(5 pkt)

Dla jakich wartości parametru m rozwiązaniem układu równań { 2x + 3y = 4 4x + my = 2m jest para liczb nieujemnych?

Zadanie 13
(4 pkt)

Z drutu o długości 200 cm zbudowano ramkę w kształcie prostokąta. Jakie powinna mieć wymiary aby pole prostokąta było największe?

Zadanie 14
(4 pkt)

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji y = f(x) .

PIC

Naszkicuj wykres funkcji: g(x) = f(|x|) − 2 . Określ dziedzinę oraz miejsca zerowe funkcji g(x) .

Zadanie 15
(3 pkt)

Sprawdź czy równość jest tożsamością. Podaj odpowiednie założenia.

--sin-α-- + --sin-α-- = -2--. 1 + cos α 1 − cos α sin α

Zadanie 16
(4 pkt)

Wyznacz resztę z dzielenia wielomianu W (x) przez wielomian (x − 1 )(x+ 2) wiedząc, że W (1) = − 1 i W (− 2) = 2 .

Zadanie 17
(5 pkt)

Trapez ABCD jest wpisany w okrąg, przekątna AC jest zawarta w dwusiecznej kąta BAD , a długość podstawy AB jest dwa razy większa niż długość podstawy CD . Oblicz pole trapezu i obwód wiedząc że jego wysokość jest równa √ -- 3 .

Zadanie 18
(4 pkt)

Trzy liczby tworzą ciąg arytmetyczny o r = 3 . Jeżeli pierwszą powiększymy o 8 drugą o 6 a trzecią pozostawimy bez zmian to otrzymamy trzy kolejne wyrazy ciągu geometrycznego. Znajdź te liczby.

Arkusz Wersja PDF
Rozwiązania