/Szkoła średnia

Próbny Egzamin Maturalny
z Matematyki Zestaw przygotowany przez serwis www.zadania.info poziom rozszerzony
(technikum) 14 marca 2015 Czas pracy: 180 minut

Zadanie 1
(4 pkt)

Rozwiąż nierówność |5 − x|+ 12 ≥ |2− 3x| .

Zadanie 2
(4 pkt)

Wewnątrz prostokąta ABCD o wymiarach |AB | = 8 i |AD | = 6 wybrano dwa punkty M i N takie, że MN ∥ AB oraz |AM | = |DM | = |NB | = |NC | . Przy jakiej odległości punktów M i N suma kwadratów długości odcinków AM ,DM ,MN ,NB ,NC jest najmniejsza?

Zadanie 3
(6 pkt)

Wyznacz wszystkie wartości parametru a ⁄= − 1 , dla których wykres funkcji f (x) = ax+2a−-2 x−a nie ma punktów wspólnych z prostą y = a2−-3 a+ 1 .

Zadanie 4
(4 pkt)

Rozwiąż równanie cosx − tg2 xco sx = 1 w przedziale ⟨0,2π ⟩ .

Zadanie 5
(4 pkt)

Na zewnątrz równoramiennego trójkąta prostokątnego zbudowano kwadraty – jeden na przyprostokątnej, a drugi na przeciwprostokątnej. Wykaż, że przeciwprostokątna dzieli odcinek łączący środki kwadratów na dwie równe części.

PIC

Zadanie 6
(5 pkt)

Ciąg (an) , gdzie n ≥ 1 dany jest wzorem rekurencyjnym

{ √ -- a√1 =- 6 √- ( 2+ 1 )an+1 = an√−--2 2− 1
  • Oblicz sumę 21 początkowych wyrazów tego ciągu.
  • Wyznacz wszystkie liczby naturalne n , dla których spełniona jest nierówność
    2 7an ≤ 3 − (n − 1 ) .

Zadanie 7
(4 pkt)

Udowodnij, że -4n4−-32n2+-1- n −n − 2n−1 , dla n ∈ N i n > 2 jest ułamkiem właściwym.

Zadanie 8
(5 pkt)

W trójkąt prostokątny ABC o przyprostokątnych długości |AC | = 3 i |BC | = 4 wpisano dwa przystające okręgi w ten sposób, że są one wzajemnie styczne oraz jeden z nich jest styczny do boków AB i BC , a drugi do boków AC i BC .

PIC

Oblicz długość promienia tych okręgów.

Zadanie 9
(4 pkt)

Reszta z dzielenia wielomianu 5 4 3 2 P(x ) = 3x − 5x + ax + bx + cx + d przez wielomian Q (x) = −3x 4 + 2x3 + 8x2 jest taka sama jak reszta z dzielenia wielomianu Q (x) przez wielomian R(x ) = 3x2 − 2x + 1 . Oblicz wartości współczynników a,b,c i d .

Zadanie 10
(5 pkt)

W ostrosłup prawidłowy czworokątny wpisano sześcian tak, że jego cztery wierzchołki należą do krawędzi bocznych ostrosłupa, a pozostałe do płaszczyzny podstawy. Oblicz długość krawędzi sześcianu, jeżeli wysokość ostrosłupa jest równa H , a długość jego krawędzi podstawy jest równa a .

Zadanie 11
(5 pkt)

Grupę 12 uczniów, wśród których jest 6 dziewczynek i 6 chłopców podzielono na 3 równoliczne grupy. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że w każdej z utworzonych grup będzie tyle samo dziewcząt.

Arkusz Wersja PDF
Rozwiązania