/Szkoła średnia

Egzamin Maturalny
z Matematyki poziom podstawowy 5 maja 2016 Czas pracy: 170 minut

Zadania zamknięte

Zadanie 1
(1 pkt)

Dla każdej dodatniej liczby a iloraz a−2,6 -a1,3 jest równy
A) a− 3,9 B) a−2 C) a−1,3 D) 1,3 a

Zadanie 2
(1 pkt)

Liczba √ -- log√ -(2 2) 2 jest równa
A) 3 2 B) 2 C) 5 2 D) 3

Zadanie 3
(1 pkt)

Liczby a i c są dodatnie. Liczba b stanowi 48% liczby a oraz 32% liczby c . Wynika stąd, że
A) c = 1 ,5a B) c = 1,6a C) c = 0,8a D) c = 0,1 6a

Zadanie 4
(1 pkt)

Równość (2√ 2-− a)2 = 17− 12√ 2- jest prawdziwa dla
A) a = 3 B) a = 1 C) a = − 2 D) a = − 3

Zadanie 5
(1 pkt)

Jedną z liczb, które spełniają nierówność − x5 + x3 − x < −2 , jest
A) 1 B) − 1 C) 2 D) − 2

Zadanie 6
(1 pkt)

Proste o równaniach 2x − 3y = 4 i 5x − 6y = 7 przecinają się w punkcie P . Stąd wynika, że
A) P = (1,2) B) P = (− 1,2) C) P = (− 1,− 2) D) P = (1,− 2)

Zadanie 7
(1 pkt)

Punkty ABCD leżą na okręgu o środku S (zobacz rysunek). Miara kąta BDC jest równa

PIC

A) 91∘ B) 7 2,5∘ C) 18∘ D) 32∘

Zadanie 8
(1 pkt)

Dana jest funkcja liniowa f (x) = 34x + 6 . Miejscem zerowym tej funkcji jest liczba
A) 8 B) 6 C) − 6 D) − 8

Zadanie 9
(1 pkt)

Równanie wymierne 3x−-1= 3 x+5 , gdzie x ⁄= − 5 ,
A) nie ma rozwiązań rzeczywistych.
B) ma dokładnie jedno rozwiązanie rzeczywiste.
C) ma dokładnie dwa rozwiązania rzeczywiste.
D) ma dokładnie trzy rozwiązania rzeczywiste.

Informacja do zadań 10 i 11

Na rysunku przedstawiony jest fragment paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej f . Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt W = (1,9 ) . Liczby − 2 i 4 to miejsca zerowe funkcji f .

PIC
Zadanie 10
(1 pkt)

Zbiorem wartości funkcji f jest przedział
A) (− ∞ ,− 2⟩ B) ⟨− 2,4⟩ C) ⟨4,+ ∞ ) D) (− ∞ ,9⟩

Zadanie 11
(1 pkt)

Najmniejsza wartość funkcji f w przedziale ⟨− 1,2 ⟩ jest równa
A) 2 B) 5 C) 8 D) 9

Zadanie 12
(1 pkt)

Funkcja f określona jest wzorem -2x3 f(x ) = x6+1 dla każdej liczby rzeczywistej x . Wtedy liczba √3-- f(− 3) jest równa
A) √ - − -39 2 B) − 3 5 C) 3 5 D) -3√3 2

Zadanie 13
(1 pkt)

W okręgu o środku w punkcie S poprowadzono cięciwę AB , która utworzyła z promieniem AS kąt o mierze 31∘ (zobacz rysunek). Promień tego okręgu ma długość 10. Odległość punktu S od cięciwy AB jest liczbą z przedziału

PIC

A) ⟨ ⟩ 92, 112- B) ( ⟩ 112 , 132 C) ( 13 19⟩ 2-,-2 D) (19 37⟩ -2 ,-2

Zadanie 14
(1 pkt)

Czternasty wyraz ciągu arytmetycznego jest równy 8, a różnica tego ciągu jest równa ( ) − 32 . Siódmy wyraz tego ciągu jest równy
A) 37 2 B) 37 − 2 C) 5 − 2 D) 5 2

Zadanie 15
(1 pkt)

Ciąg (x,2x + 3 ,4x + 3) jest geometryczny. Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy
A) − 4 B) 1 C) 0 D) − 1

Zadanie 16
(1 pkt)

Przedstawione na rysunku trójkąty ABC i PQR są podobne. Bok AB trójkąta ABC ma długość

PIC

A) 8 B) 8,5 C) 9,5 D) 10

Zadanie 17
(1 pkt)

Kąt α jest ostry i tg α = 2 3 . Wtedy
A) 3√-13- sin α = 26 B) √-13 sin α = 13 C) √ -- sin α = 2--13 13 D) √ -- sin α = 3-13- 13

Zadanie 18
(1 pkt)

Z odcinków o długościach: 5,2a+ 1,a− 1 można zbudować trójkąt równoramienny. Wynika stąd, że
A) a = 6 B) a = 4 C) a = 3 D) a = 2

Zadanie 19
(1 pkt)

Okręgi o promieniach 3 i 4 są styczne zewnętrznie. Prosta styczna do okręgu o promieniu 4 w punkcie P przechodzi przez środek okręgu o promieniu 3 (zobacz rysunek).

PIC

Pole trójkąta, którego wierzchołkami są środki okręgów i punkt styczności P, jest równe
A) 14 B) 2 √ 33- C) √ --- 4 3 3 D) 12

Zadanie 20
(1 pkt)

Proste opisane równaniami -2-- y = m− 1x+ m − 2 oraz -1-- y = mx + m+ 1 są prostopadłe, gdy
A) m = 2 B) m = 12 C) m = 1 3 D) m = − 2

Zadanie 21
(1 pkt)

W układzie współrzędnych dane są punkty A = (a ,6) oraz B = (7,b) . Środkiem odcinka AB jest punkt M = (3 ,4 ) . Wynika stąd, że
A) a = 5 i b = 5 B) a = − 1 i b = 2 C) a = 4 i b = 10 D) a = −4 i b = −2

Zadanie 22
(1 pkt)

Rzucamy trzy razy symetryczną monetą. Niech p oznacza prawdopodobieństwo otrzymania dokładnie dwóch orłów w tych trzech rzutach. Wtedy
A) 0 ≤ p < 0,2 B) 0 ,2 ≤ p ≤ 0,3 5 C) 0,35 < p ≤ 0,5 D) 0,5 < p ≤ 1

Zadanie 23
(1 pkt)

Kąt rozwarcia stożka ma miarę ∘ 120 , a tworząca tego stożka ma długość 4. Objętość tego stożka jest równa
A) 36π B) 18π C) 24 π D) 8π

Zadanie 24
(1 pkt)

Przekątna podstawy graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest dwa razy dłuższa od wysokości graniastosłupa. Graniastosłup przecięto płaszczyzną przechodzącą przez przekątną podstawy i jeden wierzchołek drugiej podstawy (patrz rysunek).

PIC

Płaszczyzna przekroju tworzy z podstawą graniastosłupa kąt α o mierze
A) 30∘ B) 4 5∘ C) 60∘ D) 75∘

Zadanie 25
(1 pkt)

Średnia arytmetyczna sześciu liczb naturalnych: 31, 16, 25, 29, 27, x , jest równa x 2 . Mediana tych liczb jest równa
A) 26 B) 27 C) 28 D) 29

Zadania otwarte

Zadanie 26
(2 pkt)

W tabeli przedstawiono roczne przyrosty wysokości pewnej sosny w ciągu sześciu kolejnych lat.

kolejne lata 1 2 3456
przyrost (w cm)10107887

Oblicz średni roczny przyrost wysokości tej sosny w badanym okresie sześciu lat. Otrzymany wynik zaokrąglij do 1 cm. Oblicz błąd względny otrzymanego przybliżenia. Podaj ten błąd w procentach.

Zadanie 27
(2 pkt)

Rozwiąż nierówność 2x 2 − 4x > 3x2 − 6x .

Zadanie 28
(2 pkt)

Rozwiąż równanie (4 − x)(x 2 + 2x − 15) = 0 .

Zadanie 29
(2 pkt)

Dany jest trójkąt prostokątny ABC . Na przyprostokątnych AC i AB tego trójkąta obrano odpowiednio punkty D i G . Na przeciwprostokątnej BC wyznaczono punkty E i F takie, że |∡DEC | = |∡BGF | = 90∘ (zobacz rysunek). Wykaż, że trójkąt CDE jest podobny do trójkąta F BG .

PIC

Zadanie 30
(2 pkt)

Ciąg (an) jest określony wzorem 2 an = 2n + 2n dla n ≥ 1 . Wykaż, że suma każdych dwóch kolejnych wyrazów tego ciągu jest kwadratem liczby naturalnej.

Zadanie 31
(2 pkt)

Skala Richtera służy do określania siły trzęsień ziemi. Siła ta opisana jest wzorem R = log AA0- , gdzie A oznacza amplitudę trzęsienia wyrażoną w centymetrach, A = 10 −4 cm 0 jest stałą, nazywaną amplitudą wzorcową. 5 maja 2014 roku w Tajlandii miało miejsce trzęsienie ziemi o sile 6,2 w skali Richtera. Oblicz amplitudę trzęsienia ziemi w Tajlandii i rozstrzygnij, czy jest ona większa, czy – mniejsza od 100 cm.

Zadanie 32
(4 pkt)

Jeden z kątów trójkąta jest trzy razy większy od mniejszego z dwóch pozostałych kątów, które różnią się o 50 ∘ . Oblicz kąty tego trójkąta.

Zadanie 33
(5 pkt)

Podstawą ostrosłupa prawidłowego trójkątnego ABCS jest trójkąt równoboczny ABC . Wysokość SO tego ostrosłupa jest równa wysokości jego podstawy. Objętość tego ostrosłupa jest równa 27. Oblicz pole powierzchni bocznej ostrosłupa ABCS oraz cosinus kąta, jaki tworzą wysokość ściany bocznej i płaszczyzna podstawy ostrosłupa.

Zadanie 34
(4 pkt)

Ze zbioru wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych losujemy kolejno dwa razy po jednej liczbie bez zwracania. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że suma wylosowanych liczb będzie równa 30. Wynik zapisz w postaci ułamka zwykłego nieskracalnego.

Rozwiąż on-line Arkusz Wersja PDF
Rozwiązania