/Szkoła średnia

Próbny Egzamin Maturalny
z Matematyki Zestaw przygotowany przez serwis www.zadania.info poziom rozszerzony
(technikum) 18 kwietnia 2015 Czas pracy: 180 minut

Zadanie 1

(4 pkt)

Na rysunku przedstawiony jest fragment wykresu funkcji określonej wzorem f(x) = log 3(p− |x|) .

Podaj wartość .
Naszkicuj wykres funkcji .
Podaj w zależności od parametru liczbę rozwiązań równania .

Zadanie 2

(5 pkt)

W trójkącie prostokątnym ABC przyprostokątne mają długości |BC | = 28, |CA | = 21 . Na boku wybrano punkt tak, że pole trójkąta ADC jest równe 126. Oblicz długość promienia okręgu opisanego na trójkącie BCD .

Zadanie 3

(5 pkt)

Wyznacz wszystkie wartości parametru , dla których równanie 2 x + 2mx − 2m + 3 = 0 ma dwa różne pierwiastki należące do przedziału (− 2,0) .

Zadanie 4

(4 pkt)

Kąty α,β ,γ trójkąta ABC spełniają zależność

α γ β sin --sin --= sin -. 2 2 2

Oblicz wartość wyrażenia tg α tg γ- 2 2 .

Zadanie 5

(5 pkt)

Wyznacz resztę z dzielenia wielomianu P(x) przez trójmian x 2 − 3x − 28 jeśli P (7) = 24 i P (− 4) = − 31 .

Zadanie 6

(3 pkt)

Do dwóch okręgów przecinających się w punktach i poprowadzono wspólną styczną , przy czym punkt należy do pierwszego, a punkt do drugiego okręgu. Wykaż, że prosta dzieli odcinek na połowy.

Zadanie 7

(5 pkt)

Liczby a,b,c mają tę własność, że każdy z ciągów: (a,b,c) , (a + 1,b + 2,c + 4) i (a − 2,b + 1,c − 13) jest ciągiem geometrycznym. Oblicz a ,b ,c .

Zadanie 8

(5 pkt)

W pewnym budynku biurowym przydzielono pracownikom pięciocyfrowe kody bezpieczeństwa, przy czym każdy kod musiał spełniać następujące dwa warunki:
(1) kod musi zawierać co najmniej 3 różne cyfry
(2) kod musi zawierać co najmniej jedną cyfrę parzystą i co najmniej jedną cyfrę nieparzystą.
Ile jest kodów spełniających powyższe warunki?

Zadanie 9

(4 pkt)

Sprzedawca zegarków kupił w hurtowni za 5746 złotych dwa rodzaje zegarków: damskie i męskie, przy czym kupił trzy razy więcej zegarków damskich niż męskich. Przy ponownym zakupie takiej samej ilości zegarków, otrzymał 10% rabatu na cenę zakupu zegarka damskiego oraz 10 zł upustu na cenę zakupu zegarka męskiego. Dzięki otrzymanym rabatom, łączny koszt zakupu zmalał do 5265 zł. Wiedząc, że po udzieleniu rabatu, cena męskiego zegarka była dwa razy wyższa od ceny zegarka damskiego, oblicz pierwotne ceny zegarków.

Zadanie 10

(5 pkt)

Podstawą ostrosłupa ABCDS jest kwadrat ABCD . Trójkąt równoramienny ASD ma ramię długości 15 i jest prostopadły do podstawy ostrosłupa. Krawędź ma długość 17. Oblicz cosinus kąta nachylenia płaszczyzny BCE do płaszczyzny podstawy, gdzie jest środkiem krawędzi .