/Szkoła średnia

Próbny Egzamin Maturalny
z Matematyki Zestaw przygotowany przez serwis www.zadania.info poziom rozszerzony 28 kwietnia 2018 Czas pracy: 180 minut

Zadania zamknięte

Zadanie 1
(1 pkt)

Liczba ∘ √------√--- ∘ √-------√------√---- 3 3 10− 3 2⋅ 3 3100 + 320 + 3 4 jest równa
A) 2 B) 8 C) √3--- √3 -- 1 0− 2 D) 3√ ---- 3√ -- 100− 4

Zadanie 2
(1 pkt)

Liczba ( 53π) sin − 3 jest równa
A) √ - − -23 B) √ - -23 C) − 1 2 D) 1 2

Zadanie 3
(1 pkt)

Punkt P ′ = (− 25,34) jest obrazem punktu P w jednokładności o środku w punkcie S = (− 7,12) i skali 2 k = − 3 . Współrzędne punktu P są równe
A) (11,− 10 ) B) (22,− 24) C) (20,− 21) D) (15,− 17)

Zadanie 4
(1 pkt)

Prosta y = − 5x + b jest styczna do paraboli określonej wzorem 2 y = 2x + 3x − 1 . Liczba b jest równa
A) − 2 B) 1 C) − 9 D) 11

Zadanie 5
(1 pkt)

Wiadomo, że funkcja | | f (x) = ||ax+1+ba|| x+b jest funkcją rosnącą w przedziałach (− ∞ ,− 2) i ⟨− 1,+ ∞ ) oraz jest funkcją malejącą w przedziale (− 2,− 1⟩ . Zatem
A) a = 1 B) a = − 1 C) a = 2 D) a = −2

Zadania otwarte

Zadanie 6
(2 pkt)

Reszta z dzielenia wielomianu W (x) = x5 + ax3 + x2 − 1 przez dwumian x2 − 2 jest równa 1. Oblicz wartość współczynnika a .

Zadanie 7
(3 pkt)

Oblicz granicę

( ) -4-- 8- -16-- 32- ----22n--- 22n+1- nl→im+ ∞ √ --+ 5 + √ --+ 25 + ⋅ ⋅⋅+ n−1 √ -+ 5n . 5 5 5 5 ⋅ 5

Zadanie 8
(2 pkt)

Okrąg przechodzący przez końce przyprostokątnej BC trójkąta prostokątnego ABC przecina drugą przyprostokątną AC oraz przeciwprostokątną AB tego trójkąta odpowiednio w punktach E i F . Wykaż, że promień okręgu opisanego na trójkącie AF E jest równy 1 2|AE | .

PIC

Zadanie 9
(3 pkt)

Oblicz największą wartość wielomianu 4 3 2 W (x) = −x − 4x + 8x + 48x − 35 .

Zadanie 10
(3 pkt)

Wykaż, że jeżeli a,b ∈ (0,1 )∪ (1,+ ∞ ) , to

|lo gab + logb a| ≥ 2.

Zadanie 11
(3 pkt)

W trójkącie ostrokątnym ABC dane są |∡BAC = α| i |∡ABC | = β < α . Wykaż, że tangens kąta utworzonego przez środkową i wysokość opuszczone z wierzchołka C jest równy

--1--- --1--- 2tg β − 2 tgα .

Zadanie 12
(3 pkt)

Sześciokrotnie rzucamy kostką do gry. Wśród otrzymanych wyników są dokładnie trzy dwójki. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w pierwszym rzucie otrzymaliśmy piątkę?

Zadanie 13
(4 pkt)

Czworościan foremny przecięto płaszczyzną π styczną do kuli wpisanej w ten czworościan (tzn. kuli stycznej do wszystkich ścian czworościanu) oraz równoległą do jednej ze ścian czworościanu. Oblicz stosunek objętości brył, na które płaszczyzna π podzieliła czworościan.

Zadanie 14
(4 pkt)

Rozwiąż równanie 1 sin x sin 3x = 2 w przedziale ⟨0,2π ⟩ .

Zadanie 15
(5 pkt)

Wyznacz wszystkie wartości parametru m , dla których równanie 2 x + mx − 2m = 0 ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste x1,x2 spełniające warunek (x31 − x23)(x 21 − x 22) = 7m 2 .

Zadanie 16
(6 pkt)

Wierzchołki czworokąta ABCD mają współrzędne: ( ) A = − 1 ,− 5 4 , ( ) B = 8,− 11 3 , ( ) C = 40,− 3 3 i ( ) D = 5, 134 .

  • Wykaż, że czworokąt ABCD jest trapezem równoramiennym, w który można wpisać okrąg.
  • Wyznacz współrzędne punktu styczności okręgu wpisanego w czworokąt ABCD z prostą CD .

Zadanie 17
(7 pkt)

W ostrosłup prawidłowy czworokątny o wysokości H i krawędzi podstawy a wpisano walec, którego podstawa zawiera się w podstawie ostrosłupa, i którego oś symetrii pokrywa się z osią symetrii ostrosłupa. Jakie powinny być wymiary tego walca, aby jego objętość była największa możliwa? Oblicz tę największą objętość.

PIC

Arkusz Wersja PDF
Rozwiązania