/Szkoła średnia

Poprawkowy Egzamin Maturalny
z Matematyki poziom podstawowy 21 sierpnia 2018 Czas pracy: 170 minut

Zadania zamknięte

Zadanie 1

(1 pkt)

Cena pewnego towaru w wyniku obniżki o 10% zmniejszyła się o 2 018 zł. Ten towar po tej obniżce kosztował
A) 20 180 zł B) 18 162 zł C) 2 108 zł D) 2 028 zł

Zadanie 2

(1 pkt)

Liczba ∘ ---- √32 jest równa
A) 1 26 B) 1 25 C) 1 2 3 D) 2 23

Zadanie 3

(1 pkt)

Dane są liczby x = 4,5⋅ 10−8 oraz y = 1,5 ⋅102 . Wtedy iloraz jest równy
A) − 10 3 ⋅10 B) −6 3⋅ 10 C) − 10 6,75 ⋅10 D) − 6 6,75 ⋅10

Zadanie 4

(1 pkt)

Liczba log4 96 − log46 jest równa
A) log 490 B) lo g696 C) 4 D) 2

Zadanie 5

(1 pkt)

Równość ( √ -) 2 √ -- a + 2 3 = 13 + 4 3 jest prawdziwa dla
A) √ --- a = 13 B) a = 1 C) a = 0 D) √ --- a = 13 + 1

Zadanie 6

(1 pkt)

Na rysunku jest przedstawiona graﬁczna ilustracja układu dwóch równań stopnia pierwszego z dwiema niewiadomymi i .

Wskaż ten układ
A) { y = − 2x + 8 3 13 y = − 2x + 2 B) { y = 2x − 4 1 7 y = − 2x+ 2 C) { y = x− 1 1 1 y = 2x + 2 D) { y = 3x − 7 2 y = − 3x + 4

Zadanie 7

(1 pkt)

Rozwiązaniem równania --x−2- 1 3(x+2) = 9 jest liczba
A) − 2 B) 2 C) 4 D) − 4

Zadanie 8

(1 pkt)

Dane są funkcje f (x) = 3x oraz g(x) = f (−x ) , określone dla wszystkich liczb rzeczywistych . Punkt wspólny wykresów funkcji i
A) nie istnieje B) ma współrzędne (1,0)
C) ma współrzędne (0,1) D) ma współrzędne (0,0)

Zadanie 9

(1 pkt)

Punkt ( √ -) 1, 3 należy do wykresu funkcji √ -- y = 2 3x + b . Wtedy współczynnik jest równy
A) 7 B) √ -- 3 3 C) − 5 D) √ -- − 3

Zadanie 10

(1 pkt)

Wykresem funkcji kwadratowej 2 f(x ) = x − 2x − 11 jest parabola, której wierzchołkiem jest punkt o współrzędnych
A) (− 2,− 3) B) (− 2,− 12 ) C) (1,− 8) D) (1,− 12)

Zadanie 11

(1 pkt)

Funkcja kwadratowa jest określona wzorem f(x) = − 3(x − 2)(x− 9) . Liczby x 1,x2 są różnymi miejscami zerowymi funkcji . Zatem
A) x1 + x2 = 1 1 B) x1 + x2 = − 11 C) x1 + x2 = 3 3 D) x 1 + x 2 = − 33

Zadanie 12

(1 pkt)

Największą wartością funkcji 2 y = − (x − 2) + 4 w przedziale ⟨3 ,5⟩ jest
A) 0 B) 5 C) 4 D) 3

Zadanie 13

(1 pkt)

Ciąg arytmetyczny (an) , określony dla n ≥ 1 , spełnia warunek a3 + a 4 + a5 = 15 . Wtedy
A) a4 = 5 B) a4 = 6 C) a4 = 3 D) a4 = 4

Zadanie 14

(1 pkt)

Dla pewnej liczby ciąg (x,x + 4,16) jest geometryczny. Liczba jest równa
A) 8 B) 4 C) 2 D) 0

Zadanie 15

(1 pkt)

W trójkącie prostokątnym przeciwprostokątna ma długość 3, a długość przyprostokątnej leżącej naprzeciwko kąta jest równa √ -- 3 . Zatem
A) ∘ α = 60 B) ∘ ∘ α ∈ (40 ,6 0 ) C) α ∈ (30∘,4 0∘) D) α = 30∘

Zadanie 16

(1 pkt)

Kąt jest ostry i cosα = 35 . Wtedy
A) sin α ⋅tg α = 16 15 B) sin α⋅tg α = 15- 16 C) 8- sin α⋅ tg α = 15 D) sin α ⋅tgα = 620

Zadanie 17

(1 pkt)

Dany jest okrąg o środku . Punkty K, L i leżą na tym okręgu. Na łuku tego okręgu są oparte kąty KSL i KML (zobacz rysunek), których miary i spełniają warunek α + β = 114∘ . Wynika stąd, że

A) β = 19∘ B) β = 38∘ C) β = 57∘ D) β = 76∘

Zadanie 18

(1 pkt)

Różnica miar dwóch sąsiednich kątów wewnętrznych równoległoboku jest równa 80∘ . Kąt rozwarty tego równoległoboku ma miarę
A) ∘ 120 B) ∘ 125 C) ∘ 13 0 D) ∘ 13 5

Zadanie 19

(1 pkt)

Pole trójkąta o bokach długości 4 oraz 9 i kącie między nimi o mierze ∘ 60 jest równe
A) 18 B) 9 C) √ -- 18 3 D) 9√ 3-

Zadanie 20

(1 pkt)

Proste o równaniach: y = (3m − 4 )x+ 2 i y = (12 − m )x + 3m są równoległe, gdy
A) m = 4 B) m = 3 C) m = − 4 D) m = − 3

Zadanie 21

(1 pkt)

Punkt A = (− 3,2 ) jest końcem odcinka , a punkt M = (4,1) jest środkiem tego odcinka. Długość odcinka jest równa
A) 2√ 5- B) 4√ 5- C) √ -- 5 2 D) √ -- 10 2

Zadanie 22

(1 pkt)

Jeżeli oznacza miarę kąta między przekątną sześcianu a przekątną ściany bocznej tego sześcianu (zobacz rysunek), to

A) √- sin α = 36- B) √- sin α = 22- C) √ - sin α = --3 2 D) √- sin α = -3- 3

Zadanie 23

(1 pkt)

Przekrój osiowy walca jest kwadratem o przekątnej √ -- 10 2 . Pole powierzchni bocznej tego walca jest równe:
A) 50π B) 100 π C) 20 0π D) 250π

Zadanie 24

(1 pkt)

Abiturient jednego z liceów zestawił w tabeli oceny ze swojego świadectwa ukończenia szkoły.

Ocena	6	5	4	3	2
Liczba ocen	2	3	5	5	1

Mediana przedstawionego zestawu danych jest równa
A) 3 B) 3,5 C) 4 D) 4,5

Zadanie 25

(1 pkt)

W grupie liczącej 29 uczniów (dziewcząt i chłopców) jest 15 chłopców. Z tej grupy trzeba wylosować jedną osobę. Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że zostanie wylosowana dziewczyna, jest równe
A) 14 15 B) 1- 14 C) 14 29 D) 1259

Zadania otwarte

Zadanie 26

(2 pkt)

Rozwiąż nierówność x 2 + 6x − 1 6 < 0 .

Zadanie 27

(2 pkt)

Rozwiąż równanie (x3 + 27 )(x 2 − 16) = 0 .

Zadanie 28

(2 pkt)

W równoległoboku ABCD punkt jest środkiem boku . Z wierzchołka poprowadzono prostą przecinającą bok w punkcie . Proste i przecinają się w punkcie (zobacz rysunek). Wykaż, że punkt jest środkiem odcinka .

Zadanie 29

(2 pkt)

Wykaż, że jeżeli i są liczbami rzeczywistymi dodatnimi, to ( ) (a+ b) 1a + 1b ≥ 4 .

Zadanie 30

(2 pkt)

Dziewiąty wyraz ciągu arytmetycznego (an) , określonego dla n ≥ 1 , jest równy 34, a suma jego ośmiu początkowych wyrazów jest równa 110. Oblicz pierwszy wyraz i różnicę tego ciągu.

Zadanie 31

(2 pkt)

Punkty A = (2,4) , B = (0,0) , C = (4,− 2) są wierzchołkami trójkąta ABC . Punkt jest środkiem boku tego trójkąta. Wyznacz równanie prostej .

Zadanie 32

(5 pkt)

W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym ABCS krawędź podstawy ma długość . Pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa jest dwa razy większe od pola jego podstawy. Oblicz cosinus kąta nachylenia krawędzi bocznej tego ostrosłupa do płaszczyzny jego podstawy.

Zadanie 33

(4 pkt)

Ze zbioru A = {− 3 ,−2 ,−1 ,1,2,3} losujemy liczbę , natomiast ze zbioru B = {− 1,0,1,2 } losujemy liczbę . Te liczby są – odpowiednio – współczynnikiem kierunkowym i wyrazem wolnym funkcji liniowej f (x) = ax + b . Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że otrzymana funkcja jest rosnąca i ma dodatnie miejsce zerowe.