/Szkoła średnia

Próbny Egzamin Maturalny
z Matematyki (CKE)
poziom podstawowy 14 grudnia 2022 Czas pracy: 180 minut

Zadanie 1
(1 pkt)

Liczba ( 1) 13 5⋅5 2 jest równa
A) √ -- 65 B) √ --- 3 25 C) √ -- 5 D) √ -- 35

Zadanie 2
(1 pkt)

Pan Nowak kupił obligacje Skarbu Państwa za 40 000 zł oprocentowane 7% w skali roku. Odsetki są naliczane i kapitalizowane co rok. Wartość obligacji kupionych przez pana Nowaka będzie po dwóch latach równa
A) 2 40 000 ⋅(1,07) B) 2 4 0000 ⋅(1,7) C) 40 000⋅ 1,14 D) 4 0000 ⋅1,49

Zadanie 3
(1 pkt)

Właściciel sklepu kupił w hurtowni 50 par identycznych spodni po x zł za parę i 40 identycznych marynarek po y zł za sztukę. Za zakupy w hurtowni zapłacił 8000 zł. Po doliczeniu marży 50% na każdą parę spodni i 20% na każdą marynarkę ceny detaliczne spodni i marynarki były jednakowe. Cenę pary spodni x oraz cenę marynarki y , jakie trzeba zapłacić w hurtowni, można obliczyć z układu równań
A) { x + y = 8000 0,5x = 0,2y B) { 50x + 40y = 800 0 0,5x = 0,2y C) { 50x + 40y = 800 0 1,5x = 1,2y D) { x+ y = 8000 1,5x = 1,2y

Zadanie 4
(1 pkt)

Liczby rzeczywiste x i y są dodatnie oraz x ⁄= y . Wyrażenie -1--+ -1-- x−y x+y można przekształcić do postaci
A) 2 x−y- B) 2 x2−y2 C) --2x- x2−y 2 D) −-2xy- x+y

Zadanie 5
(1 pkt)

Wszystkich różnych liczb naturalnych czterocyfrowych, w których zapisie dziesiętnym wszystkie cyfry są różne, jest
A) 9 ⋅8⋅ 7⋅6 B) 9⋅9 ⋅8 ⋅7 C) 10 ⋅9⋅ 8⋅7 D) 9 ⋅10⋅ 10⋅1 0

Zadanie 6
(1 pkt)

Funkcja f jest określona wzorem f(x) = − lo gx dla wszystkich liczb rzeczywistych dodatnich x . Wartość funkcji f dla argumentu √ --- x = 10 jest równa
A) 2 B) ( ) − 12 C) 12 D) (− 2)

Informacja do zadań 7.1 i 7.2

W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej f(x) = ax 2 + bx+ c . Wierzchołek paraboli, która jest wykresem funkcji f , ma współrzędne (5,− 3) . Jeden z punktów przecięcia paraboli z osią Ox układu współrzędnych ma współrzędne (4,0) .

ZINFO-FIGURE
Zadanie 7.1
(1 pkt)

Wyznacz zbiór wszystkich wartości funkcji f .

Zadanie 7.2
(2 pkt)

Wyznacz wzór funkcji kwadratowej f w postaci kanonicznej.

Zadanie 8
(1 pkt)

Dana jest nierówność kwadratowa

(3x − 9)(x + k ) < 0

z niewiadomą x i parametrem k ∈ R . Rozwiązaniem tej nierówności jest przedział (− 2,3) . Liczba k jest równa
A) (− 2) B) 2 C) (− 3) D) 3

Zadanie 9
(1 pkt)

Dana jest funkcja kwadratowa f(x) = ax 2 + bx + c , gdzie a,b i c są liczbami rzeczywistymi takimi, że a ⁄= 0 oraz c < 0 . Funkcja f nie ma miejsc zerowych.
Dokończ zdanie tak, aby było prawdziwe. Wybierz odpowiedź A albo B oraz jej uzasadnienie 1, 2 albo 3.
Wykres funkcji f leży w całości

A) nad osią Ox ,B) pod osią Ox ,
ponieważ
1) a < 0 i b2 − 4ac < 0 .
2) a > 0 i b2 − 4ac < 0 .
3) a < 0 i b2 − 4ac = 0 .

Zadanie 10
(1 pkt)

Dany jest układ równań

{ y = x − 1 y = −x + 1.

Na którym z rysunków przedstawiona jest interpretacja geometryczna tego układu równań?

ZINFO-FIGURE

Zadanie 11
(1 pkt)

Dany jest wielomian W określony wzorem 3 2 W (x) = x − 2x − 3x + 6 dla każdej liczby rzeczywistej x . Wielomian W przy rozkładzie na czynniki ma postać
A) W (x) = (x + 2)(x2 − 3) B) 2 W (x) = (x − 2)(x − 3)
C) 2 W (x ) = (x+ 2)(x + 3) D) W (x) = (x − 2)(x2 + 3)

Zadanie 12
(1 pkt)

Równanie (4−x)(2x− 3) (3x−-5)(3−2x)-= 0 w zbiorze liczb rzeczywistych ma dokładnie
A) jedno rozwiązanie B) dwa rozwiązania
C) trzy rozwiązania D) cztery rozwiązania

Zadanie 13
(1 pkt)

Dana jest nierówność

x x 2 − --≥ --− 3. 2 3

Największą liczbą całkowitą, która spełnia tę nierówność, jest
A) 6 B) 5 C) 7 D) (− 6)

Zadanie 14
(2 pkt)

Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej n liczba 5n2 + 15n jest podzielna przez 10.

Zadanie 15
(1 pkt)

Dany jest ciąg (an ) określony wzorem a = 2n 2 + n n dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1 . Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, lub F – jeśli jest fałszywe.

Ciąg (an) jest malejący. PF
Ósmy wyraz ciągu (an) jest równy 136.PF

Zadanie 16
(1 pkt)

Pięciowyrazowy ciąg ( 1 ) − 3,2,x ,y,11 jest arytmetyczny. Liczby x oraz y są równe
A) x = 4 oraz y = 15 2 B) x = 15- 2 oraz y = 4
C) x = − 4 oraz 15 y = 2- D) 15 x = − 2- oraz y = 4

Zadanie 17
(2 pkt)

Dany jest ciąg geometryczny (an) , określony dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1 . W tym ciągu a1 = −5 , a2 = 15 , a3 = − 45 .
Dokończ zdanie. Wybierz dwie właściwe odpowiedzi spośród podanych.
Wzór ogólny ciągu (an) ma postać
A) n− 1 an = − 5 ⋅(− 3) B) n an = − 5 ⋅(− 3)
C) an = − 5 ⋅3n− 1 D) n an = − 5 ⋅ (−33)

E) (−3)n an = 5 ⋅ 3 F) n an = 5 ⋅(− 3) ⋅3

Zadanie 18
(1 pkt)

Kąt α jest ostry oraz -1--- --1-- 25 sin2α + cos2α = 4 . Wartość wyrażenia sinα ⋅co sα jest równa
A) 52 B) 25 C) 254 D) -4 25

Zadanie 19
(1 pkt)

Punkty A ,B ,C leżą na okręgu o środku O (zobacz rysunek). Ponadto |∡AOC | = 1 30∘ oraz ∘ |∡BOA | = 110 .

ZINFO-FIGURE

Miara kąta wewnętrznego BAC trójkąta ABC jest równa
A) 60∘ B) 5 5∘ C) 50∘ D) 65∘

Zadanie 20
(4 pkt)

Do wyznaczenia trzech boków pewnego kąpieliska w kształcie prostokąta należy użyć liny o długości 200 m. Czwarty bok tego kąpieliska będzie pokrywał się z brzegiem plaży, który w tym miejscu jest linią prostą (zobacz rysunek).

ZINFO-FIGURE

Oblicz wymiary a i b kąpieliska tak, aby jego powierzchnia była największa.

Zadanie 21
(1 pkt)

Dany jest kwadrat ABCD o boku długości 8. Z wierzchołka A zakreślono koło o promieniu równym długości boku kwadratu (zobacz rysunek).

ZINFO-FIGURE

Pole powierzchni części wspólnej koła i kwadratu jest równe
A) 16π B) 8π C) √ -- 4 2 π D) √ -- 16 2π

Zadanie 22
(1 pkt)

Odcinki AC i BD przecinają się w punkcie O . Ponadto |AD | = 4 i |OD | = |BC | = 6 . Kąty ODA i BCO są proste (zobacz rysunek).

ZINFO-FIGURE

Długość odcinka OC jest równa
A) 9 B) 8 C) √ --- 2 13 D) 3√ 13-

Zadanie 23
(2 pkt)

Przekątne równoległoboku ABCD mają długości: |AC | = 16 oraz |BD | = 12 . Wierzchołki E ,F,G oraz H rombu EF GH leżą na bokach równoległoboku ABCD (zobacz rysunek). Boki tego rombu są równoległe do przekątnych równoległoboku.

ZINFO-FIGURE

Oblicz długość boku rombu EF GH .

Zadanie 24
(2 pkt)

Dany jest trójkąt ABC , w którym |AC | = 4 , |AB | = 3 , 4 co s∡BAC = 5 . Oblicz pole trójkąta ABC .

Informacja do zadań 25.1 i 25.2

Dany jest sześciokąt foremny ABCDEF o polu równym √ -- 6 3 (zobacz rysunek).

ZINFO-FIGURE
Zadanie 25.1
(1 pkt)

Pole trójkąta ABE jest równe
A) 6 B) √ -- 4 3 C) √ -- 2 3 D) 4

Zadanie 25.2
(1 pkt)

Długość odcinka AE jest równa
A) 2 B) √ -- 2 3 C) √ -- 4 3 D) 4

Zadanie 26
(1 pkt)

Dany jest trapez ABCD , w którym AB ∥ CD oraz przekątne AC i BD przecinają się w punkcie O . Wysokość tego trapezu jest równa 12. Obwód trójkąta ABO jest równy 39, a obwód trójkąta CDO jest równy 13.

ZINFO-FIGURE

Wysokość trójkąta ABO poprowadzona z punktu O jest równa
A) 3 B) 4 C) 9 D) 6

Zadanie 27
(1 pkt)

Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) , dany jest okrąg O o równaniu

2 2 (x − 3) + (y − 3) = 13.

Okrąg O przecina oś Oy w punktach o współrzędnych
A) (0,1) i (0,5 ) B) (0,1) i (0,− 5)
C) (1,0) i (5,0) D) (0,− 1) i (0,5)

Zadanie 28
(1 pkt)

Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych (x ,y) , dane są proste k oraz l o równaniach

k : y = 1-x− 1 3 l : y = − 3x + 6.

Proste k oraz l
A) nie mają punktów wspólnych. B) są prostopadłe.
C) przecinają się w punkcie P = (0,− 1) . D) pokrywają się.

Zadanie 29
(1 pkt)

Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych (x ,y) , dane są punkty A = (1,2) i B = (2m ,m ) , gdzie m jest liczbą rzeczywistą, oraz prosta k o równaniu y = −x − 1 . Prosta przechodząca przez punkty A i B jest równoległa do prostej k , gdy
A) m = − 1 B) m = 1 C) m = 1 2 D) m = 2

Informacja do zadań 30.1 i 30.2

Dany jest sześcian ABCDEF GH o krawędzi długości 9. Wierzchołki podstawy ABCD sześcianu połączono odcinkami z punktem W , który jest punktem przecięcia przekątnych podstawy EF GH . Otrzymano w ten sposób ostrosłup prawidłowy czworokątny ABCDW .

ZINFO-FIGURE
Zadanie 30.1
(1 pkt)

Objętość V ostrosłupa ABCDW jest równa
A) 243 B) 364,5 C) 489 D) 729

Zadanie 30.2
(2 pkt)

Oblicz cosinus kąta nachylenia krawędzi bocznej ostrosłupa do płaszczyzny podstawy.

Zadanie 31
(1 pkt)

Dany jest sześcian F o krawędzi długości a i objętości V oraz sześcian G o krawędzi długości 3a . Objętość sześcianu G jest równa
A) 3V B) 9V C) 18V D) 27V

Zadanie 32
(1 pkt)

Na loterii stosunek liczby losów wygrywających do liczby losów przegrywających jest równy 2 : 7. Zakupiono jeden los z tej loterii. Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że zakupiony los jest wygrywający, jest równe
A) 1 9 B) 1 2 C) 2 9 D) 2 7

Zadanie 33
(2 pkt)

W eksperymencie badano kiełkowanie nasion w pięciu donicach. Na koniec eksperymentu policzono wykiełkowane nasiona w każdej z donic:
– w I donicy – 133 nasiona
– w II donicy – 140 nasion
– w III donicy – 119 nasion
– w IV donicy – 147 nasion
– w V donicy – 161 nasion.
Odchylenie standardowe liczby wykiełkowanych nasion jest równe σ = 1 4 . Podaj numery donic, w których liczba wykiełkowanych nasion mieści się w przedziale określonym przez jedno odchylenie standardowe od średniej.

Rozwiąż on-line Arkusz Wersja PDF
Rozwiązania