/Szkoła średnia

Próbny Egzamin Maturalny
z Matematyki Zestaw przygotowany przez serwis zadania.info poziom rozszerzony 10 kwietnia 2021 Czas pracy: 180 minut

Zadania zamknięte

Zadanie 1
(1 pkt)

Liczba log 34 jest równa
A) --1√-- log2 3 B) log 9 2 C) lo1g-9 2 D) √ -- log2 3

Zadanie 2
(1 pkt)

Granica lim √x2−x--- x→0 x+ 1−1 równa jest
A) + ∞ B) − ∞ C) 0 D) − 2

Zadanie 3
(1 pkt)

Mamy cztery urny. W urnie o numerze k , dla k = 0,1,2,3 znajduje się k + 1 kul białych i 9 − k kul czarnych. Rzucamy symetryczną sześcienną kostką do gry, która na każdej ściance ma inną liczbę oczek, od jednego oczka do sześciu oczek. Jeśli w wyniku rzutu otrzymamy ściankę z k oczkami, k = 1,2,...,6 to losujemy jedną kulę z urny, której numer jest równy reszcie z dzielenia liczby k przez 4. Prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej jest równe
A) 1 3 B) 4 15 C) 3 20 D) 1 4

Zadanie 4
(1 pkt)

Liczba S jest sumą wszystkich wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego o pierwszym wyrazie równym √ -- 3 i ilorazie -1- √ 3 . Liczba (S− 3) jest sumą wszystkich wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego o pierwszym wyrazie równym -- √ 3 i ilorazie q . Wynika stąd, że liczba q jest równa
A) 1 3 B) 1 − √3- C) − 1 3 D) √1- 3

Zadania otwarte

Zadanie 5
(2 pkt)

Wykaż, że jeżeli prawdopodobieństwa zdarzeń A i B spełniają warunki: 5 P (A ) < 8 i P (A ∩ B ) > 47 , to

P(A ∩ B′) < -1-. 14

Zadanie 6
(3 pkt)

W czworokącie wypukłym ABCD kąty przy wierzchołkach B i D są proste (zobacz rysunek).

PIC

Oblicz sinus kąta przy wierzchołku C jeżeli |AC | = 1 ,3 |BD | .

Zadanie 7
(3 pkt)

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej x i dla każdej liczby rzeczywistej y większej od 1 prawdziwa jest nierówność 2x 2 + 4y 2 + 1 > 4xy + 3y .

Zadanie 8
(3 pkt)

Rozwiąż równanie: |x|− 2sin x+|x|-= 0 x 2 .

Zadanie 9
(4 pkt)

Dla jakich wartości parametru p wielomian W (x) = x3 − 4x2 − 3x − p ma trzy pierwiastki rzeczywiste?

Zadanie 10
(4 pkt)

Na bokach AB i AD rombu ABCD wybrano odpowiednio punkty M i L w ten sposób, że 3 |AL | = |AM | = 5|AB | . Odcinek LM jest styczny do okręgu wpisanego w romb ABCD . Punkt K jest punktem styczności okręgu wpisanego w ten romb z bokiem AD (zobacz rysunek).

PIC

Wykaż, że |AK | |KD-| = 241 .

Zadanie 11
(4 pkt)

Wyznacz te wartości parametru p , dla których równanie x 4 + (2p − 1)x2 + 4p2 − 1 = 0 ma dokładnie dwa różne pierwiastki rzeczywiste.

Zadanie 12
(5 pkt)

Czterowyrazowy ciąg (a,b,c,d) jest rosnący i arytmetyczny. Suma kwadratów trzech najmniejszych wyrazów tego ciągu jest pięciokrotnie większa od kwadratu czwartego wyrazu. Ponadto ciąg (a− 10,b,c) jest geometryczny. Oblicz wyrazy ciągu (a,b,c,d ) .

Zadanie 13
(5 pkt)

Każda krawędź graniastosłupa trójkątnego ma długość 26. Ściana boczna ACF D jest prostopadła do płaszczyzny podstawy ABC , a krawędź AD jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod katem α takim, że tgα = 2,4 (zobacz rysunek).

PIC

Oblicz cosinus kąta DBF .

Zadanie 14
(6 pkt)

Odległość każdego z wierzchołków A i B trójkąta ABC od punktu K = (3,16) jest równa √ -- 5 5 , a odległość tych wierzchołków od punktu L = (− 2,− 19) jest równa 25. Okrąg opisany na trójkącie ABC jest styczny do prostej y = − 3 w punkcie C . Punkt A znajduje się w pierwszej ćwiartce układu współrzędnych. Wyznacz współrzędne wierzchołków trójkąta ABC .

Zadanie 15
(7 pkt)

Należy zaprojektować wymiary prostokątnego placu zabaw, tak aby szerokość trawnika wzdłuż dłuższych brzegów placu była równa 1,5 m, a szerokość trawnika wzdłuż krótszych brzegów placu była równa 2,5 m (zobacz rysunek – plac zabaw zaznaczono kolorem szarym). Sam plac zabaw ma mieć powierzchnię 2 15 00 m . Wyznacz takie wymiary placu zabaw, przy których powierzchnia placu wraz z trawnikami jest najmniejsza.

PIC

Arkusz Wersja PDF
Rozwiązania