/Szkoła średnia

Egzamin Maturalny
z Matematyki (termin dodatkowy)
poziom rozszerzony 5 czerwca 2018 Czas pracy: 180 minut

Zadania zamknięte

Zadanie 1
(1 pkt)

Niech √ - √ -- √ - L = lo g 22⋅ lo g2 3 ⋅log 34 . Wtedy
A) L = 1 B) L = 2 C) L = 3 D) L = 4

Zadanie 2
(1 pkt)

Okrąg o równaniu (x − 3)2 + (y + 7)2 = 6 25 jest styczny do okręgu o środku S = (12,5) i promieniu r . Wynika stąd, że
A) r = 5 B) r = 15 C) r = 1 0 D) r = 20

Zadanie 3
(1 pkt)

Liczba ∘ -----√----- ∘ -----√----- (1− 2)2 + (2− 2)2 jest równa
A) 1 B) − 1 C) √ -- 3 − 2 2 D) √ -- 2 2 + 1

Zadanie 4
(1 pkt)

Spośród poniższych nierówności wskaż tę, którą spełniają dokładnie trzy liczby całkowite.
A) | | | 3x+ 5| < 2 4 B) | | ||4 x+ 5|| < 2 3 C) | | |35x + 4| < 2 D) | | ||45x+ 3|| < 2

Zadania otwarte

Zadanie 5
(2 pkt)

Oblicz współczynnik kierunkowy stycznej do wykresu funkcji -x2-- f(x) = x−1 , określonej dla każdej liczby rzeczywistej x ⁄= 1 , poprowadzonej w punkcie ( ) A = 6, 36 5 tego wykresu.

Zadanie 6
(3 pkt)

W trójkącie ABC kąt BAC jest dwa razy większy od kąta ABC . Wykaż, że prawdziwa jest równość 2 2 |BC | − |AC | = |AB |⋅|AC | .

Zadanie 7
(3 pkt)

Udowodnij, że dla dowolnego kąta α ∈ (0, π) 2 prawdziwa jest nierówność

(-π- ) (-π- ) 1- sin 12 − α ⋅cos 12 + α < 4.

Zadanie 8
(3 pkt)

Wykaż, że równanie x 8 + x 2 = 2(x4 + x− 1) ma tylko jedno rozwiązanie rzeczywiste x = 1 .

Zadanie 9
(4 pkt)

Ze zbioru wszystkich liczb naturalnych ośmiocyfrowych, w których zapisie dziesiętnym występują tylko cyfry ze zbioru {0,1,3 ,5 ,7,9} , losujemy jedną. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że suma cyfr wylosowanej liczby jest równa 3.

Zadanie 10
(4 pkt)

Dany jest rosnący ciąg geometryczny (a,aq,aq 2) , którego wszystkie wyrazy i iloraz są liczbami całkowitymi nieparzystymi. Jeśli największy wyraz ciągu zmniejszymy o 4, to otrzymamy ciąg arytmetyczny. Oblicz wyraz aq tego ciągu.

Zadanie 11
(4 pkt)

Dany jest nieskończony ciąg okręgów (on) o równaniach 2 2 11−n x + y = 2 , n ≥ 1 . Niech Pk będzie pierścieniem ograniczonym zewnętrznym okręgiem o2k− 1 i wewnętrznym okręgiem o2k . Oblicz sumę pól wszystkich pierścieni Pk , gdzie k ≥ 1 .

Zadanie 12
(5 pkt)

Trapez prostokątny ABCD o podstawach AB i CD jest opisany na okręgu. Ramię BC ma długość 10, a ramię AD jest wysokością trapezu. Podstawa AB jest 2 razy dłuższa od podstawy CD . Oblicz pole tego trapezu.

Zadanie 13
(5 pkt)

Wierzchołki A i B trójkąta prostokątnego ABC leżą na osi Oy układu współrzędnych. Okrąg wpisany w ten trójkąt jest styczny do boków AB , BC i CA w punktach – odpowiednio – P = (0,10) , Q = (8 ,6) i R = (9,1 3) . Oblicz współrzędne wierzchołków A , B i C tego trójkąta.

Zadanie 14
(6 pkt)

Wyznacz wszystkie wartości parametru m , dla których równanie

x 2 − 3mx + (m + 1)(2m − 1) = 0

ma dwa różne rozwiązania x 1 , x 2 spełniające warunki: x ⋅x ⁄= 0 1 2 oraz 1- 1- 2 0 < x1 + x2 ≤ 3 .

Zadanie 15
(7 pkt)

Rozpatrujemy wszystkie możliwe drewniane szkielety o kształcie przedstawionym na rysunku, wykonane z listewek. Każda z tych listewek ma kształt prostopadłościanu o podstawie kwadratu o boku długości x . Wymiary szkieletu zaznaczono na rysunku.

PIC

  • Wyznacz objętość V drewna potrzebnego do budowy szkieletu jako funkcję zmiennej x .
  • Wyznacz dziedzinę funkcji V .
  • Oblicz tę wartość x , dla której zbudowany szkielet jest możliwie najcięższy, czyli kiedy funkcja V osiąga wartość największą. Oblicz tę największą objętość.

Arkusz Wersja PDF
Rozwiązania