/Szkoła średnia

Próbny Egzamin Maturalny
z Matematyki Zestaw przygotowany przez serwis www.zadania.info poziom rozszerzony 7 kwietnia 2018 Czas pracy: 180 minut

Zadania zamknięte

Zadanie 1
(1 pkt)

Wskaż liczbę, która spełnia równanie 3|3 − x|− |5 − 3x | = 0
A) 3 5 B) 1 4 C) 4 5 D) 7 3

Zadanie 2
(1 pkt)

Liczba 6log23 jest równa
A) log 2 3 6 B) log 3 3 ⋅3 2 C) 2log32 D) 3 log23

Zadanie 3
(1 pkt)

Okrąg jest styczny do boku AB trójkąta ABC w punkcie D oraz przecina boki AC i BC tego trójkąta odpowiednio w punktach E ,F i G ,H (zobacz rysunek). Kat CHF ma miarę 67∘ .

PIC

Zaznaczony na rysunku kąt α ma miarę
A) 157 ∘ B) 23∘ C) 13 4∘ D) 11 3∘

Zadanie 4
(1 pkt)

Wskaż liczbę spełniającą nierówność 1+ 2sin x < 0 .
A) 13π 12 B) π- − 12 C) 1π2 D) − 71π2-

Zadanie 5
(1 pkt)

Ciąg (an) określony jest w następujący sposób { √ -- a1 = − 2 √ 2a = − an−1-dla n ≥ 2. n 2 Setny wyraz ciągu an jest równy
A) √ - − 4724 B) 4174 C) -√2 2149 D) -1- − 2149

Zadania otwarte

Zadanie 6
(2 pkt)

Funkcja kwadratowa 2 f (x) = ax + bx − 18 ma dwa miejsca zerowe: x 1 = − 2 i x2 = 9 . Oblicz najmniejszą wartość tej funkcji.

Zadanie 7
(3 pkt)

Oblicz granicę 1 lim 3√--2√3-----3√-- x→− ∞ x( x+1− x) .

Zadanie 8
(3 pkt)

W trójkącie ostrokątnym ABC bok AB ma długość c , długość boku AC jest równa b oraz |∡BAC | = α . Dwusieczna kąta BAC przecina bok BC trójkąta w punkcie D i odcinek AD ma długość d . Wykaż, że

α d d co s--= ---+ --. 2 2b 2c

Zadanie 9
(3 pkt)

Prosta o równaniu y = ax przecina parabolę o równaniu y = 1x2 − 1 2 2 w dwóch punktach A i B . Wykaż, że styczne do tej paraboli w punktach A i B są prostopadłe.

Zadanie 10
(3 pkt)

Na loterii jest 20 losów, wśród których jeden los wygrywa 600 zł, pięć losów wygrywa po 200 zł i sześć losów wygrywa po 150 zł. Pozostałe losy są przegrywające. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że kupując jako pierwsi cztery razy po jednym losie wygramy dokładnie 600 zł?

Zadanie 11
(4 pkt)

Rozwiąż równanie cos2x + sin 2x tg x + 3 cosx = − 2cos2 x w przedziale ⟨0,2 π⟩ .

Zadanie 12
(4 pkt)

Ciąg (an) jest ciągiem arytmetycznym o pierwszym wyrazie równym 123 i różnicy będącej liczbą całkowitą. Ciąg (bn ) jest określony wzorem bn = a3n , dla n ≥ 1 , oraz wiadomo, że suma pewnych 2k ≥ 2 początkowych wyrazów ciągu (b ) n jest równa sumie 3k początkowych wyrazów ciągu (an) . Wyznacz wzór ogólny ciągu (bn) .

Zadanie 13
(4 pkt)

W graniastosłupie prawidłowym sześciokątnym poprowadzono płaszczyznę, która przechodzi przez krawędź podstawy oraz przez środek symetrii graniastosłupa. Płaszczyzna ta wyznacza przekrój o polu równym √ -- 4 8 2 . Stosunek wysokości graniastosłupa do długości krawędzi podstawy jest równy -- √ 5 . Oblicz objętość tego graniastosłupa.

Zadanie 14
(6 pkt)

Trapez równoramienny ABCD o ramieniu długości 7 wpisany jest w okrąg, przy czym dłuższa podstawa AB trapezu, o długości 14, jest średnicą tego okręgu. Przekątne AC i BD trapezu przecinają się w punkcie P . Oblicz długość okręgu wpisanego w trójkąt CDP .

Zadanie 15
(6 pkt)

Wyznacz wszystkie wartości parametru k , dla których równanie

2 3x + (2k− 2)x+ 18 = 0

ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste x 1 i x 2 , przy czym 0 > x 1 > x2 , spełniające warunek

(3x 1 − 2x2)2 + 45 = 14(3x 1 − 2x2).

Zadanie 16
(7 pkt)

Rozpatrujemy wszystkie prostopadłościany o objętości 27, których stosunek długości dwóch krawędzi wychodzących z tego samego wierzchołka jest równy 1:3 oraz suma długości wszystkich dwunastu krawędzi jest mniejsza od 52. Wyznacz pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu jako funkcję długości jednej z jego krawędzi. Wyznacz dziedzinę tej funkcji. Oblicz wymiary tego spośród rozpatrywanych prostopadłościanów, którego pole powierzchni całkowitej jest najmniejsze.

Arkusz Wersja PDF
Rozwiązania