/Szkoła średnia

Próbny Egzamin Maturalny
z Matematyki Zestaw przygotowany przez serwis www.zadania.info poziom rozszerzony 24 marca 2018 Czas pracy: 180 minut

Zadania zamknięte

Zadanie 1
(1 pkt)

Liczba ∘ -----√--- ∘ -----√--- 5− 2 6+ 5 + 2 6 jest równa
A) 12 B) √ -- 3 2 C) 4 D) √ -- 2 3

Zadanie 2
(1 pkt)

Granica (3−2x3)5 xli→m− ∞ (2−3x5)3- jest równa
A) 3 2 B) 2 3 C) 243 8 D) 3227

Zadanie 3
(1 pkt)

Punkt ′ P = (7,5) jest obrazem punktu P = (1 ,2) w jednokładności o środku w punkcie S = (− 7,− 2) . Skala tej jednokładności jest równa
A) 4 7 B) 3 4 C) 3 D) 7 4

Zadanie 4
(1 pkt)

Na rysunku przedstawiono fragment wykresu pochodnej y = f′(x) funkcji y = f (x) .

PIC

Wynika stąd, że funkcja y = f (x) jest rosnąca w przedziale
A) ⟨− 7,− 3⟩ B) ⟨− 4,− 1⟩ C) ⟨1,5⟩ D) ⟨− 3,4⟩

Zadanie 5
(1 pkt)

Liczba (30) 15 jest podzielna przez
A) 7 B) 55 C) 143 D) 85

Zadania otwarte

Zadanie 6
(2 pkt)

Wykaż, że jeżeli a,b > 0 i a ⁄= 1 , to dla dowolnej liczby całkowitej dodatniej n prawdziwy jest wzór

log b = 1-lo g b. an n a

Zadanie 7
(2 pkt)

Reszta z dzielenia wielomianu 3 2 2 W (x) = x + ax − 2x − 3 przez dwumian x+ 2 jest równa 1. Oblicz wartość współczynnika a .

Zadanie 8
(3 pkt)

Odcinek CD jest wysokością przedstawionego na rysunku trójkąta równoramiennego ABC , w którym |AC | = |BC | . Punkt L jest rzutem punktu K wysokości CD na bok BC . Udowodnij, że ∡CAK = ∡KDL .

PIC

Zadanie 9
(3 pkt)

Na stu mężczyzn ośmiu, zaś na tysiąc kobiet pięć ma zaburzenie rozpoznawania barw. Z grupy, w której stosunek liczby mężczyzn do liczby kobiet wynosi 7:11 wybrano losowo jedną osobę. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wylosowana osoba prawidłowo rozpoznaje kolory?

Zadanie 10
(3 pkt)

Na bokach AB i BC trójkąta ABC wybrano punkty D i E w ten sposób, że odcinek DE jest styczny do okręgu wpisanego w trójkąt ABC oraz trójkąt DBE jest równoboczny. Obwód trójkąta ABC jest równy 20, a długość boku AC jest równa 7. Oblicz pole trójkąta DBE .

PIC

Zadanie 11
(3 pkt)

Funkcja 3 2 f (x) = x + ax + bx + c ma trzy różne miejsca zerowe: p,q ,r . Wykaż, że

f ′(p )⋅f ′(q) ⋅f′(r) < 0.

Zadanie 12
(4 pkt)

Oblicz pole trójkąta ograniczonego osią Oy oraz stycznymi do wykresu funkcji f (x) = 14x 2 − 2x + 7 poprowadzonymi w punktach x = 6 i x = 8 .

Zadanie 13
(4 pkt)

Rozwiąż równanie ( ) ( ) cos x − π- + 3 sin x + π- = 2 3 6 w przedziale ⟨0,2π⟩ .

Zadanie 14
(5 pkt)

Tworzącą stożka widać ze środka kuli wpisanej w ten stożek pod kątem o mierze α . Wyznacz stosunek objętości tej kuli do objętości stożka.

Zadanie 15
(5 pkt)

Funkcje f (x) = 2x6 − ax4 , g(x) = 1 8x2 + bx + c i h(x) = − 6x 4 − 3x2 mają tę własność, że dla każdej liczby rzeczywistej x ⁄= 0 , liczby f(x) , g(x) i h(x ) tworzą (w pewnej ustalonej kolejności) ciąg geometryczny. Wykaż, że funkcja f (x )+ g(x)+ h(x) jest rosnąca na przedziale (0,+ ∞ ) .

Zadanie 16
(4 pkt)

Napisz równanie okręgu opisanego na trapezie równoramiennym ABCD , jeżeli A = (3,12) , B = (− 14 ,19) , C = (− 21,12) i D = (− 14 ,−5 ) .

Zadanie 17
(7 pkt)

W ostrosłup prawidłowy czworokątny o wysokości H wpisano sześcian tak, że cztery jego wierzchołki należą do krawędzi bocznych ostrosłupa, a cztery pozostałe należą do płaszczyzny jego podstawy. Oblicz dla jakiej długości krawędzi podstawy ostrosłupa stosunek objętości ostrosłupa do objętości sześcianu jest najmniejszy możliwy.

Arkusz Wersja PDF
Rozwiązania