/Szkoła średnia

Próbny Egzamin Maturalny
z Matematyki Zestaw przygotowany przez serwis zadania.info poziom rozszerzony 4 kwietnia 2020 Czas pracy: 180 minut

Zadania zamknięte

Zadanie 1
(1 pkt)

Jeżeli a > 0 , to liczba ∘ -----------√-------- 3 1− (a+ 3 ) a+ 3a jest równa
A) √ -- a − 1 B) √ -- 1− a a C) 1 − √a-- D) a√a--− 1

Zadanie 2
(1 pkt)

W ilu ćwiartkach układu współrzędnych znajdują się punkty okręgu o równaniu

2 2 x + y + 34x − 32y+ 184 = 0 ?

A) W jednej. B) W dwóch. C) W trzech. D) W czterech.

Zadanie 3
(1 pkt)

Liczba 4 1 + sin 2 2,5∘ − cos422 ,5∘ jest równa
A) √- 2−--2 2 B) 1 C) √ 2 -2- + 1 D) 2

Zadanie 4
(1 pkt)

Zdarzenia losowe A i B zawarte w Ω są takie, że prawdopodobieństwo P(A ′) zdarzenia A ′ , przeciwnego do zdarzenia A , jest równe 1 6 . Ponadto, prawdopodobieństwo warunkowe 2- P(B |A ) = 15 . Wynika stąd, że
A) P (A ∩ B) = 145 B) P(A ∩ B) = 19 C) P (A ∩ B) = 3- 25 D) P (A ∩ B ) = 4 5

Zadanie 5
(1 pkt)

Liczba rzeczywistych rozwiązań równania x 4 − 3x 2 − 3x = 0 jest równa
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4

Zadania otwarte

Zadanie 6
(2 pkt)

W trójkącie ABC punkt S jest środkiem okręgu wpisanego, a punkty M i N są punktami styczności tego okręgu z bokami AB i AC odpowiednio. Wykaż, że punkt S leży na okręgu opisanym na trójkącie AMN .

Zadanie 7
(2 pkt)

Uzasadnij, że dla dowolnych liczb dodatnich x i y prawdziwa jest nierówność

-x- y-- 1- 1- y2 + x2 ≥ x + y.

Zadanie 8
(3 pkt)

Wyznacz te wartości parametru m , dla których równanie | | |x−-1| |x+ 1|+ m = 0 z niewiadomą x ma dokładnie jedno rozwiązanie.

Zadanie 9
(3 pkt)

Wyznacz wszystkie wartości parametru a , dla których prosta o równaniu x − 8y− 5 = 0 jest styczna do wykresu funkcji y = -14 + a x .

Zadanie 10
(4 pkt)

Oblicz, ile jest ośmiocyfrowych liczb naturalnych takich, że iloczyn wszystkich ich cyfr w zapisie dziesiętnym jest równy 1323.

Zadanie 11
(4 pkt)

Oblicz miary kątów trójkąta, w którym długości boków tworzą ciąg geometryczny, a miary kątów tworzą ciąg arytmetyczny.

Zadanie 12
(4 pkt)

Rozwiąż równanie 4 cos9x cos 3x = 2 cos 12x− 1 w przedziale ⟨0,π ⟩ .

Zadanie 13
(5 pkt)

Wysokość ostrosłupa prawidłowego trójkątnego jest równa 4, a krawędź podstawy ma długość 1. Ostrosłup przecięto płaszczyzną, która przechodzi przez krawędź podstawy oraz jest prostopadła do przeciwległej krawędzi bocznej. Oblicz pole powierzchni tego przekroju.

Zadanie 14
(5 pkt)

Przekątna BD deltoidu zawiera się w prostej o równaniu y + 2x − 5 = 0 i ma taką samą długość jak przekątna AC . Przekątne te przecinają się w punkcie P , takim że |AP | = 4|CP | . Wierzchołek A ma współrzędne (9,7) . Oblicz współrzędne wierzchołków B ,C i D tego deltoidu.

Zadanie 15
(6 pkt)

Trzywyrazowy ciąg (a,b,c) o wyrazach dodatnich jest arytmetyczny, natomiast ciąg

( ) 7 1 2 ----------,--,--- a+ b+ 2c b 9a

jest geometryczny. Oblicz iloraz ciągu geometrycznego.

Zadanie 16
(7 pkt)

Zakład produkcyjny planuje wytwarzanie pojemników o objętości 3 1728 dm , które mają kształt otwartego graniastosłupa prawidłowego czworokątnego (bez górnej podstawy – zobacz rysunek).

PIC

Koszt produkcji 2 1 dm podstawy tego pojemnika wynosi 0,3 zł, a koszt produkcji 1 dm 2 jego ścian bocznych wynosi 0,2 zł. Ponadto, do kosztu produkcji należy doliczyć niezbędne wzmocnienie krawędzi podstawy w cenie 4,2 zł za 1 dm długości. Oblicz jakie powinny być wymiary tego pojemnika tak, aby koszt jego produkcji był najmniejszy możliwy.

Arkusz Wersja PDF
Rozwiązania