/Szkoła średnia
Próbny Egzamin Maturalny
z Matematyki Zestaw przygotowany przez serwis zadania.info poziom rozszerzony 20 kwietnia 2024 Czas pracy: 180 minut
Funkcja o dziedzinie jest określona jako nieskończona suma
Wykres funkcji powstaje z wykresu funkcji przez przesunięcie o wektor . Rozwiąż nierówność .
W skład pociągu osobowego wchodzi lokomotywa (która znajduje się na początku składu) i wagonów osobowych, wśród których są dokładnie trzy wagony pierwszej klasy. Liczba takich ustawień kolejności wagonów, w których trzy wagony pierwszej klasy znajdują się bezpośrednio za sobą jest 12 razy mniejsza niż liczba ustawień wagonów, w których żaden z wagonów pierwszej klasy nie znajduje się ani na końcu pociągu ani bezpośrednio za lokomotywą. Oblicz .
Funkcja jest określona wzorem dla każdej liczby rzeczywistej . Punkt należy do wykresu funkcji . Oblicz oraz wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji w punkcie .
Udowodnij, że dla dowolnych liczb dodatnich i prawdziwa jest nierówność
Bok rombu ma długość , a sinus jego kąta ostrego jest równy . Na bokach i wybrano punkty i odpowiednio tak, że odcinki i podzieliły pole rombu na trzy równe części (zobacz rysunek).
Oblicz długość odcinka .
Dany jest sześcian o krawędzi długości 1. Punkty i są środkami odpowiednio krawędzi i , a punkt jest środkiem odcinka . Punkt jest takim punktem krawędzi , że (zobacz rysunek).
Oblicz odległość punktu od środka odcinka .
Rozwiąż równanie , dla .
Trapez równoramienny nie jest równoległobokiem. Przekątna tego trapezu tworzy z podstawą kąt o mierze . Wykaż, że trapez nie może być opisany na okręgu.
Trzy liczby są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego. Ich suma wynosi 27. Jeśli największą z tych liczb zwiększymy o 12, a pozostałych nie zmienimy, to uzyskamy trzy kolejne wyrazy ciągu geometrycznego. Wyznacz te liczby.
Wyznacz wszystkie wartości parametru , dla których równanie
ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste spełniające warunek .
Oblicz prawdopodobieństwo tego, że trzy losowo wybrane wierzchołki sześcianu są wierzchołkami trójkąta równobocznego.
Punkty i są końcami przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego . Punkt jest środkiem okręgu wpisanego w ten trójkąt. Oblicz pole trójkąta .
Rozważamy wszystkie ostrosłupy prawidłowe trójkątne, w których suma długości wszystkich krawędzi jest równa 6.
-
Wyznacz zależność objętości ostrosłupa od jego krawędzi podstawy i podaj dziedzinę funkcji .
-
Wyznacz długość krawędzi podstawy tego z rozważanych ostrosłupów, którego objętość jest największa. Oblicz tą największą objętość.