/Szkoła średnia

Lubelska próba przed maturą
z matematyki (dla klas drugich)
poziom rozszerzony grupa II 2 czerwca 2015 Czas pracy: 180 minut

Zadania zamknięte

Zadanie 1
(1 pkt)

Ile rozwiązań ma równanie ||x + 5|− 2|+ 1 = 0 ?
A) 0 B) 2 C) 4 D) 6

Zadanie 2
(1 pkt)

Reszta z dzielenia wielomianu W (x) = 5x3 − ax2 − 4x + 1 przez dwumian x− 3 jest równa 88. Zatem
A) a = − 4 B) a = 4 C) a = − 6 D) a = − 3

Zadanie 3
(1 pkt)

Jeżeli cos α = − 2 3 i ∘ ∘ α ∈ (1 80 ,270 ) to
A) sin(9 0∘ − α) = 13
B) sin(270 ∘ + α ) = − 1 3
C) ∘ √ 5 tg(18 0 − α) = − -2-
D) √ - tg(1 80∘ + α) = − --5 2

Zadanie 4
(1 pkt)

Okrąg (x− 2)2 + (y+ 5)2 = 4 jest styczny do prostej
A) x = 3 B) y = − 9 C) 3 y = − 4 x− 1 D) 3 y = 4x

Zadanie 5
(1 pkt)

Jeżeli log3 5 = a to wyrażenie 1 lo g3 25-+ log5 27 jest równe
A) a B) − 2a+ 3 a C) 3 4a − a D) 7 a

Zadania otwarte

Zadanie 6
(2 pkt)

W trójkącie kąt między bokami o długościach 6 i √ -- 3 2 jest równy 135 ∘ . Jaką długość ma trzeci bok trójkąta?

Zadanie 7
(2 pkt)

Określono ciąg wzorem rekurencyjnym: { a = − 8 1 an+ 1 = 2an − 3. Jaką wartość ma 5 wyraz tego ciągu?

Zadanie 8
(2 pkt)

Przybliżenie z niedomiarem liczby x jest równe 12, a błąd względny tego przybliżenia wynosi 0,0125. Wyznacz liczbę x .

Zadanie 9
(2 pkt)

Wykaż, że suma sześcianów trzech kolejnych liczb naturalnych nieparzystych jest podzielna przez 3.

Zadanie 10
(3 pkt)

Wykaż, że jeżeli każda przekątna czworokąta dzieli go na trójkąty o równych polach to czworokąt ten jest równoległobokiem.

Zadanie 11
(5 pkt)

Dla jakich wartości parametru m ∈ R suma sześcianów dwóch różnych miejsc zerowych funkcji f (x) = x2 + (3 − m )x + 1+ m jest nieujemna?

Zadanie 12
(5 pkt)

Dla jakich wartości parametru m rozwiązaniem układu równań { mx + 3y = 3m 4x + 6y = 2 jest para liczb nieujemnych?

Zadanie 13
(4 pkt)

Z drutu o długości 320 cm zbudowano ramkę w kształcie prostokąta. Jakie powinna mieć wymiary aby pole prostokąta było największe?

Zadanie 14
(4 pkt)

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji y = f(x) .

PIC

Naszkicuj wykres funkcji: g(x) = f(−x )− 3 . Określ dziedzinę oraz miejsca zerowe funkcji g(x) .

Zadanie 15
(3 pkt)

Sprawdź czy równość jest tożsamością. Podaj odpowiednie założenia.

--cos-α--+ --cosα---= --2--. 1 + sin α 1 − sinα cos α

Zadanie 16
(4 pkt)

Wyznacz resztę z dzielenia wielomianu W (x) przez wielomian (x + 1 )(x− 2) wiedząc, że W (−1 ) = 1 i W (2) = − 2 .

Zadanie 17
(5 pkt)

Na trapezie ABCD można opisać okrąg. Jedna z jego podstaw jest dwa razy dłuższa od drugiej, a przekątna dzieli kąt przy dłuższej podstawie na połowy. Oblicz długości boków trapezu wiedząc, że jego ple jest równe √ -- 3 3 .

Zadanie 18
(4 pkt)

Trzy liczby tworzą ciąg arytmetyczny o r = − 2 . Jeżeli pierwszą powiększymy o 3 drugą o 1 a trzecią pozostawimy bez zmian to otrzymamy trzy kolejne wyrazy ciągu geometrycznego. Znajdź te liczby.

Arkusz Wersja PDF
Rozwiązania