/Szkoła średnia

Próbny Egzamin Maturalny
z Matematyki Zestaw przygotowany przez serwis www.zadania.info poziom rozszerzony 10 marca 2018 Czas pracy: 180 minut

Zadania zamknięte

Zadanie 1
(1 pkt)

Liczba √3-- √3-- ( 2 + 4)3 jest równa
A) --- 6 + 15√31 6 B) -- -- 6+ 6 3√ 2+ 6√34 C) √3-- √3-- 2 + 6 2 + 6 4 D) √3-- 18 + 6 4

Zadanie 2
(1 pkt)

Równanie |x − |x|| = 1 ? ma
A) nieskończenie wiele rozwiązań.
B) jedno rozwiązanie.
C) dwa rozwiązania.
D) zero rozwiązań.

Zadanie 3
(1 pkt)

Jeżeli α jest takim kątem rozwartym, że co sα = − 3 5 , to liczba co s(π-− α) 4 jest równa
A) −-7√2 10 B) 7√-2 10 C) √-2 10 D) √- −--2 10

Zadanie 4
(1 pkt)

Dane są punkt B = (2,− 9) i wektor → v = [− 10 ,6] . Punkt A , taki, że −→ → → 2AB + v = 0 , ma współrzędne
A) A = (− 3,− 6) B) A = (5,− 8) C) A = (− 4,− 8) D) A = (12 ,24)

Zadanie 5
(1 pkt)

Funkcja f jest określona wzorem 2x2+4 f(x ) = x2−-3 dla każdej liczby rzeczywistej √ -- x ⁄= ± 3 . Wówczas pochodna tej funkcji dla argumentu -- x = √ 5 jest równa
A) √ -- − 10 5 B) √ -- − 5 5 C) √ -- 20 5 D) √ -- 5

Zadania otwarte

Zadanie 6
(2 pkt)

Oblicz granicę funkcji lim √x2−2x-- x→2 x+ 2−2 .

Zadanie 7
(3 pkt)

Udowodnij, że dla dowolnych różnych liczb rzeczywistych x ,y prawdziwa jest nierówność

x 2y2 + 3x2 + 3y2 − 12xy + 9 > 0.

Zadanie 8
(3 pkt)

W trójkąt równoboczny ABC o boku długości 1 wpisano koło. Prowadzimy proste równoległe do boków trójkąta ABC i styczne do koła wpisanego. Proste te odcinają od trójkąta ABC trzy trójkąty równoboczne. W każdy z nich wpisujemy koło i postępujemy analogicznie jak z kołem wpisanym w trójkąt ABC . Czynność tę powtórzono nieskończenie wiele razy. Oblicz sumę pól wszystkich otrzymanych w ten sposób kół.

PIC

Zadanie 9
(3 pkt)

Wykaż, że jeżeli odcinki łączące środki przeciwległych boków czworokąta są prostopadłe, to przekątne tego czworokąta mają równe długości.

Zadanie 10
(4 pkt)

Między liczby − 4 i 36 wstaw dwie liczby tak, aby trzy pierwsze tworzyły ciąg arytmetyczny, a trzy ostatnie ciąg geometryczny.

Zadanie 11
(4 pkt)

Karol do szyfrowania swoich danych postanowił używać pięciocyfrowych liczb naturalnych n , które mają co najmniej jedną z dwóch cech: w zapisie dziesiętnym liczby n występuje przynajmniej jedna z cyfr: 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, lub liczba n nie jest podzielna przez 3. Ile jest takich liczb pięciocyfrowych?

Zadanie 12
(4 pkt)

W urnie jest 7 kul czarnych i 3 białe. Losujemy z tej urny pięć razy po jednej kuli i po każdym losowaniu wkładamy wylosowaną kulę z powrotem do urny oraz dokładamy do urny dwie kule w kolorze wylosowanej kuli. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że dokładnie dwa razy wylosujemy kulę białą.

Zadanie 13
(5 pkt)

Przekątna BE ściany bocznej prostopadłościanu ABCDEF GH tworzy z krawędzią podstawy AB kąt o mierze π- 3 . Przekątne BE i BG ścian bocznych tworzą kąt, którego cosinus jest równy √ - -43 , a krawędź AB podstawy ma długość 2. Oblicz promień okręgu opisanego na trójkącie EBG .

PIC

Zadanie 14
(5 pkt)

Wyznacz wszystkie wartości parametru m , dla których równanie

2 2 x + (4 − 3m )x + 2m − 6m + 5 = 0

ma dwa różne rozwiązania takie, że każde należy do przedziału (1,+ ∞ ) .

Zadanie 15
(5 pkt)

Wyznacz równania prostych stycznych do okręgu o równaniu x 2 + y 2 − 2x + 6y− 6 = 0 i zarazem prostopadłych do prostej x − 2y + 3 = 0 .

Zadanie 16
(7 pkt)

Rozpatrujemy wszystkie stożki, których pole powierzchni całkowitej jest równe P . Oblicz wysokość i promień podstawy tego stożka, który ma największą objętość. Podaj tę największą objętość.

Arkusz Wersja PDF
Rozwiązania