/Szkoła średnia

Próbny Egzamin Maturalny
z Matematyki Zestaw przygotowany przez serwis www.zadania.info poziom rozszerzony 14 marca 2015 Czas pracy: 180 minut

Zadania zamknięte

Zadanie 1
(1 pkt)

Wielomian W (x) = −x 3 + ax + 2 jest podzielny przez dwumian x + 2 . Wynika stąd, że
A) a = − 3 B) a = 5 C) a = 2 D) a = 3

Zadanie 2
(1 pkt)

Granica

3n + 3n− 1 ⋅2 + 3n− 2 ⋅22 + ⋅⋅⋅+ 3⋅ 2n−1 + 2n lim ----------------------n---------------------- n→+ ∞ 3

jest równa
A) 2 B) 3 C) 3 2 D) 0

Zadanie 3
(1 pkt)

Największa wartość funkcji f(x) = 1 + 1 2x− x3
A) jest równa 17 B) jest równa − 1 5 C) jest równa 4 D) nie istnieje

Zadanie 4
(1 pkt)

Kasia przygotowała 6 karteczek w ten sposób, że na każdej karteczce napisana jest jedna cyfra. Ile różnych liczb 6 cyfrowych można utworzyć kładąc obok siebie te karteczki, jeżeli na karteczkach napisane są cyfry: 1, 1, 2, 3, 4, 5?
A) 120 B) 320 C) 360 D) 720

Zadanie 5
(1 pkt)

Funkcje f i g są określone dla wszystkich liczb rzeczywistych x ⁄= 2 wzorami: 2 f (x) = log12(x − 2 ) , g(x) = log 12 |x − 2| . Ile punktów wspólnych mają wykresy tych funkcji?
A) 0 B) 1 C) 2 D) 4

Zadania otwarte

Zadanie 6
(2 pkt)

Dany jest kwadrat ABCD o boku długości 2. Punkt E jest punktem przekątnej AC , takim że |CE | = 1 . Oblicz długość odcinka BE .

Zadanie 7
(2 pkt)

Oblicz granicę jednostronną lim ---x+-1-- x→ − 3+ log0,5(4+x) .

Zadanie 8
(2 pkt)

Dana jest funkcja f określona wzorem -x+4- f(x ) = x2+10 , dla każdej liczby rzeczywistej x . Oblicz wartość pochodnej tej funkcji w punkcie x = − 12 .

Zadanie 9
(2 pkt)

W półkolu o o średnicy |AB | = 2R narysowano dwa przystające i zewnętrznie styczne półkola o1,o2 , których środki leżą na odcinku AB , i które są wewnętrznie styczne do półkola o . Oblicz promień okręgu o 3 , który jest styczny do o ,o 1 2 i o .

PIC

Zadanie 10
(3 pkt)

Oblicz, ile jest punktów (x,y ) na płaszczyźnie, których współrzędne x i y są liczbami całkowitymi spełniającymi odpowiednio nierówności: |17 9− x | < 43 i |y+ 372| < 21 .

Zadanie 11
(3 pkt)

Dany jest prostopadłościan o polu powierzchni równym 162, w którym przekątna jest liczbą z przedziału ⟨9,15⟩ . Wykaż, że suma długości wszystkich krawędzi tego prostopadłościanu jest liczbą z przedziału √ -- √ --- ⟨3 6 3,12 43⟩ .

Zadanie 12
(3 pkt)

Wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji 3 f(x ) = x , która przecina oś Ox w jednym punkcie: (−4 ,0) .

Zadanie 13
(3 pkt)

Liczby α i β są pierwiastkami równania 2 5x − 3x − 7 = 0 . Wykaż, że pierwiastkami równania 343x2 + 342x − 125 = 0 są liczby 1α3 i 1β3 .

Zadanie 14
(4 pkt)

Wyznacz wszystkie wartości parametru m , dla których prosta o równaniu x + my + 2 = 0 ma dokładnie dwa punkty wspólne z parabolą o równaniu 2 y = − 2x + 3x − 4 .

Zadanie 15
(4 pkt)

Rozwiąż równanie cos3x = 1+ sin 3x .

Zadanie 16
(4 pkt)

W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym krawędź podstawy ma długość a . Kąt między krawędzią boczną, a krawędzią podstawy ma miarę ∘ α > 30 . Oblicz objętość ostrosłupa.

Zadanie 17
(6 pkt)

Sześć ponumerowanych kul rozmieszczamy losowo w 5 pudełkach. Jakie jest prawdopodobieństwo, że dokładnie dwa pudełka będą puste?

Zadanie 18
(7 pkt)

Na wykresie funkcji 1 4 3 2 y = 4x − x − 5x + 22x + 50 znajdź współrzędne punktu A , którego odległość od prostej o równaniu y = − 2x − 2 2 jest najmniejsza.

Arkusz Wersja PDF
Rozwiązania