/Szkoła średnia

Próbny Egzamin Maturalny
z Matematyki Zestaw przygotowany przez serwis www.zadania.info poziom rozszerzony 11 kwietnia 2015 Czas pracy: 180 minut

Zadania zamknięte

Zadanie 1
(1 pkt)

Styczna do wykresu funkcji y = −x 3 + 3x2 − 2x w punkcie (1,0) ma równanie
A) y = x B) y = −x + 1 C) y = x + 1 D) y = x − 1

Zadanie 2
(1 pkt)

Wskaż wartość parametru m , dla którego prosta y+ 2x+ m = 0 jest styczna do okręgu o równaniu 2 2 (x− 2) + (y+ 3) = 5
A) m = 6 B) √ -- m = 5 5− 1 C) m = − 6 D) m = −4

Zadanie 3
(1 pkt)

Suma szeregu geometrycznego -- -- − 4 + 2√ 2 − 2 + √ 2 + ... jest równa
A) √ -- 4 2 + 8 B) √ -- 4 2 − 8 C) √ -- 8 − 4 2 D) √ -- − 8− 4 2

Zadanie 4
(1 pkt)

Która z poniższych liczb jest ujemna?
A) sin 197π B) ( ) tg − 137π C) 10π tg 7 D) 19π co s 7

Zadanie 5
(1 pkt)

Funkcja 2 2 f (x) = x − |x − 2x| określona dla wszystkich liczb rzeczywistych
A) ma trzy miejsca zerowe.
B) jest rosnąca.
C) ma jedno minimum lokalne.
D) nie ma ekstremów lokalnych.

Zadania otwarte

Zadanie 6
(2 pkt)

Wiedząc, że a = lo g25 , oblicz log0,50,2 .

Zadanie 7
(2 pkt)

Oblicz granicę ( 2 2 ) lim (n+n+3)2- − nn++13- n→+ ∞ .

Zadanie 8
(2 pkt)

Funkcja f jest określona wzorem f(x ) = lo g3x dla każdej liczby rzeczywistej x . Oblicz pochodną funkcji f w punkcie √ -- x = 3

Zadanie 9
(2 pkt)

Rozwiąż równanie 2 sin x + tg x = 0 .

Zadanie 10
(3 pkt)

Wyznacz maksymalne przedziały monotoniczności funkcji f(x) = -x−3-- (x+7)2 .

Zadanie 11
(3 pkt)

Wyznacz liczbę a > 1 , która spełnia równanie 2 -2 7 2a + a2 = 7a + a .

Zadanie 12
(3 pkt)

Promienie okręgów o1 i o 2 są równe odpowiednio r = 29 1 i r = 25 2 , a odległość między środkami tych okręgów jest równa 36. Oblicz długość odcinka łączącego punkty wspólne okręgów o1 i o2 .

Zadanie 13
(3 pkt)

Rzucamy sześcienną kostką do gry tak długo, aż otrzymamy co najmniej dwie nieparzyste liczby oczek, albo 10 parzystych liczb oczek. Oblicz prawdopodobieństwo, że w przeprowadzonym doświadczeniu otrzymaliśmy liczbę oczek równą 5, przy założeniu, że otrzymaliśmy tylko jedną nieparzystą liczbę oczek.

Zadanie 14
(3 pkt)

Wykaż, że jeżeli x0 jest rozwiązaniem równania 2x 5 + 5x4 + 5x2 + 20x + 3 = 0 , to x ∈ (−1 ,0) 0 .

Zadanie 15
(4 pkt)

Na bokach BC ,AC i AB trójkąta ABC wybrano odpowiednio punkty D ,E i F . Wykaż, że jeżeli okręgi opisane na trójkątach AF E i BDF są styczne, to punkt F leży na okręgu opisanym na trójkącie CED .

Zadanie 16
(5 pkt)

Dwa boki trójkąta równoramiennego są zawarte w osiach układu współrzędnych, a prosta zawierająca trzeci bok tego trójkąta jest styczna do paraboli o równaniu y = 12x2 + 3x + 112 . Oblicz pole tego trójkąta. Rozważ wszystkie możliwe przypadki.

Zadanie 17
(6 pkt)

Graniastosłup prawidłowy trójkątny przecięto płaszczyzną, przechodzącą przez środek ciężkości górnej podstawy i krawędź dolnej podstawy, pod kątem α do dolnej podstawy. Pole otrzymanego przekroju wynosi P . Oblicz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa.

Zadanie 18
(7 pkt)

Oblicz prawdopodobieństwo, że w czterech rzutach symetryczną sześcienną kostką do gry suma kwadratów liczb wyrzuconych oczek będzie podzielna przez 5.

Arkusz Wersja PDF
Rozwiązania