/Szkoła średnia

Próbny Egzamin Maturalny
z Matematyki Zestaw przygotowany przez serwis www.zadania.info poziom rozszerzony 30 marca 2019 Czas pracy: 180 minut

Zadania zamknięte

Zadanie 1
(1 pkt)

Dane są liczby 3√- a = --9 27 , -1--- b = 33√81 , 3√ -- c = 3 , -9- d = 3√ 9 oraz − 4 k = 3 3 . Prawdziwa jest równość
A) ka = 1 B) kb = 1 C) kc = 1 D) kd = 1

Zadanie 2
(1 pkt)

Okrąg o równaniu x 2 + y2 = 10x − 24y jest styczny do prostej
A) 3x + 4y − 3 8 = 0 B) 3x + 4y − 32 = 0 C) 3x + 4y − 2 1 = 0 D) 3x + 4y − 98 = 0

Zadanie 3
(1 pkt)

Ile jest liczb x należących do przedziału ⟨3π 7π⟩ -2-,-2- , które spełniają równanie 1 |cos x| = 2019 ?
A) 2 B) 8 C) 6 D) 4

Zadanie 4
(1 pkt)

Niech A i B będą takim zdarzeniami losowymi, że ′ -1 P(A ∩ B ) = 12 i 1 P (B) = 4 . Wtedy prawdopodobieństwo warunkowe P(A |B) jest równe
A) 13 B) 23 C) 34 D) 1 4

Zadanie 5
(1 pkt)

Granica ciągu ( ) lim 7−-2n2+ 3n2−-5 n→+ ∞ 3n2+3 2− 6n2 jest równa
A) − 1 6 B) 5 6 C) − 7 6 D) 2 3

Zadania otwarte

Zadanie 6
(2 pkt)

Wykres funkcji y = 7 x przesunięto o wektor → v = [− 3,k] i otrzymano wykres funkcji y = axx++d4- . Wyznacz a,d i k .

Zadanie 7
(2 pkt)

Reszta z dzielenia wielomianu W (x) przez x − 5 jest równa 4. Oblicz resztę z dzielenia wielomianu W (x + 3) przez wielomian x− 2 .

Zadanie 8
(2 pkt)

Oblicz sumę szeregu

----1----+ ---1-----+ ----1---- + ⋅⋅⋅+ ----1-----+ ⋅⋅⋅ log√ 310 log 4√3 10 log 8√3 10 log 2n√ 310

Zadanie 9
(3 pkt)

Wykaż, że równanie 8 2 4 x + x = 2(x − x− 1) ma tylko jedno rozwiązanie rzeczywiste x = − 1 .

Zadanie 10
(3 pkt)

Odcinek CD jest wysokością przedstawionego na rysunku trójkąta równoramiennego ABC , w którym |AC | = |BC | . Punkt L jest rzutem punktu K wysokości CD na bok AC . Udowodnij, że trójkąt CLD jest podobny do trójkąta CKB .

PIC

Zadanie 11
(4 pkt)

W trójkącie ostrokątnym ABC prawdziwa jest równość 2 2 |BC | − |AC | = |AB |⋅|AC | . Wykaż, że kąt BAC jest dwa razy większy od kąta ABC .

Zadanie 12
(4 pkt)

Grupę siedmiu osób, w których są trzy dziewczynki i czterech chłopców ustawiamy w rzędzie jeden za drugim. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że żadne dwie dziewczynki nie stoją bezpośrednio za sobą.

Zadanie 13
(4 pkt)

Oblicz sumę n początkowych wyrazów ciągu (an) określonego dla n ≥ 1 , w którym

{ a1 = 3 an+ 1 = 10an + 3, dla n ≥ 1.

Zadanie 14
(4 pkt)

Wykaż, że jeżeli α i β są kątami ostrymi, dla których tg α = 1 7 i √ -- sinβ = --10- 10 , to α + 2 β = π- 4 .

Zadanie 15
(5 pkt)

Wyznacz wszystkie wartości parametru m , dla których równanie

(m + 3)x 2 − (m + 2)x + (m + 3) = 0

ma dwa różne rozwiązania x ,x 1 2 spełniające nierówność: x1+ x2≥ − 14 x2 x1 9 .

Zadanie 16
(5 pkt)

Funkcja f określona jest wzorem 3 2 f(x ) = x − 6x + 12x − 5 dla każdej liczby rzeczywistej x . Wyznacz równania tych stycznych do wykresu funkcji f , które przechodzą przez punkt (3,3) .

Zadanie 17
(7 pkt)

Rozpatrujemy wszystkie ostrosłupy prawidłowe czworokątne o krawędzi bocznej równej 3. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego z tych ostrosłupów, dla którego pole przekroju płaszczyzną przechodzącą przez środki dwóch sąsiednich krawędzi podstawy oraz wierzchołek ostrosłupa jest największe możliwe.

Arkusz Wersja PDF
Rozwiązania