/Szkoła średnia

Próbny Egzamin Maturalny
z Matematyki Zestaw przygotowany przez serwis zadania.info poziom rozszerzony 19 marca 2022 Czas pracy: 180 minut

Zadania zamknięte

Zadanie 1
(1 pkt)

Odległość liczby x od liczby − 7 na osi liczbowej jest równa
A) |x + 7| B) |x − 7| C) |7x| D) |x |+ 7

Zadanie 2
(1 pkt)

Granice 4 2 2 lim (an-+bn-−41)- n→+ ∞ (2n+1) i lim --(2n+1)4--- n→+ ∞ (an4+bn 2− 1)2 są równe. Stąd wynika, że
A) a = 0 i |b| = 2 B) |a| = 1 i b = 2 C) |a| = 1 i |b| = 2 D) a = 0 i |b| = 4

Zadanie 3
(1 pkt)

Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji f określonej dla każdej liczby rzeczywistej x .

PIC

Jeden spośród podanych poniżej wzorów jest wzorem tej funkcji. Wskaż wzór funkcji f .
A) f(x ) = -cosx−-1-+ 1 |sinx|+1 B) f (x) = -sin-x+-1-− 1 |cosx|+ 1
C) f(x) = |siconsxx−|+11-+ 1 D) f(x) = c|soisnxx+|+11 − 1

Zadanie 4
(1 pkt)

Suma szeregu geometrycznego 9− 3√ 3+ 3− √ 3+ ... jest równa
A) √ - 9--32+27 B) √- 27−29-3- C) √ - 9--3−27 2 D) √ - −27−9--3 2

Zadania otwarte

Zadanie 5
(2 pkt)

Reszta z dzielenia wielomianu W (x) przez x − 2 jest równa 7. Oblicz resztę z dzielenia wielomianu W (x + 1) przez wielomian x− 1 .

Zadanie 6
(3 pkt)

Niech lo g312 = c . Wykaż, że lo g29 = c−41- .

Zadanie 7
(3 pkt)

Dany jest trójkąt ABC . Na boku AB tego trójkąta obrano punkty D ,E i F tak, że |AD | = |DE | = |EF | = 3|FB | . Na bokach AC i BC obrano – odpowiednio – punkty G i H tak, że DG ∥ EC oraz FH ∥ EC (zobacz rysunek). Wykaż, że jeżeli pole trójkąta ADG jest równe S , to pole trójkąta FBH jest równe 1 6S .

PIC

Zadanie 8
(3 pkt)

Liczby p i q są pierwiastkami równania 2 x − 45x + 4 = 0 . Wykaż, że wartość wyrażenia

1 1 √---+ √--- p q

jest liczbą wymierną.

Zadanie 9
(4 pkt)

Wykaż, że wszystkie trójkąty ograniczone osiami układu współrzędnych i dowolną styczną do wykresu funkcji f(x ) = 4 x , określonej dla x ⁄= 0 , mają równe pola.

Zadanie 10
(5 pkt)

Dane są dwa okręgi o równaniach (x+ 3)2 + y2 = 16 i x 2 + (y + m )2 = m 2 , m > 0 . Wyznacz wszystkie wartości parametru m , dla których te okręgi mają jeden punkt wspólny.

Zadanie 11
(4 pkt)

W pewnym wagonie kolejowym pasażerowie siadają w sposób losowy na 54 siedzeniach, które są ustawione po trzy siedzenia w jednym rzędzie. Do wagonu wsiadło o 3 pasażerów mniej niż dostępna liczba siedzeń i dokładnie troje z tych pasażerów to mężczyźni. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że mężczyźni usiedli w jednym rzędzie i jednocześnie jeden cały rząd pozostał pusty.

Zadanie 12
(5 pkt)

Wyznacz wszystkie liczby rzeczywiste x ∈ ⟨0,2π⟩ , które spełniają równanie

sin x+ cosx = --1--. cos x

Zadanie 13
(5 pkt)

Na okręgu jest opisany czworokąt ABCD . Bok AB tego czworokąta jest trzy razy krótszy od przekątnej BD , a bok AD ma długość 10. Ponadto spełnione są następujące warunki:

√ --- cos(∡ADB ) = 19-, |∡BCD | = 90 ∘, oraz |AB | > 1 5. 20

Oblicz długość boku BC tego czworokąta.

Zadanie 14
(6 pkt)

Krótsza przekątna graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego tworzy z płaszczyzną podstawy kąt 60∘ . Przekątna ściany bocznej ma długość 4√ 1-0 .

  • Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa.
  • Oblicz cosinus kąta między krótszymi przekątnymi graniastosłupa wychodzącymi z jednego wierzchołka.

Zadanie 15
(6 pkt)

Dany jest trójkąt równoboczny ABC o boku długości a . Punkty A 1 , B1 i C 1 należą do boków AB , BC i CA , przy czym |AA | = |BB | = |CC | = x 1 1 1 .

  • Wyraź pole trójkąta A1B 1C1 jako funkcję zmiennej x . Wyznacz dziedzinę tej funkcji.
  • Wyznacz wartość x , dla której pole trójkąta A1B 1C1 jest najmniejsze. Oblicz to najmniejsze pole.

Arkusz Wersja PDF
Rozwiązania