/Szkoła średnia

Próbny Egzamin Maturalny
z Matematyki Zestaw przygotowany przez serwis zadania.info poziom podstawowy 28 marca 2020 Czas pracy: 170 minut

Zadania zamknięte

Zadanie 1
(1 pkt)

Wartość wyrażenia √ --2 √ --2 (4 − 3) + (4 + 3) wynosi
A) 19 B) √ -- 16 3 C) 32 D) 38

Zadanie 2
(1 pkt)

Liczba √ - -log0,5√-8- log0,4 2,5 jest równa
A) 3 B) 2 3 C) 3 − 2 D) − 13

Zadanie 3
(1 pkt)

W wyniku dwóch obniżek cenę spodni obniżono o 52%. W ramach pierwszej z tych obniżek cenę zmniejszono o 20%. O ile procent zmniejszono cenę w ramach drugiej obniżki?
A) o 60% B) o 40% C) o 20% D) o 50%

Zadanie 4
(1 pkt)

Równość 1 + 1 + 1 = 1 5 6 a jest prawdziwa dla
A) 30 a = 19 B) 10 a = 11- C) a = 11- 10 D) a = 19 30

Zadanie 5
(1 pkt)

Funkcja kwadratowa f jest określona wzorem f(x) = (a + 1)x 2 + 11x , gdzie a to pewna liczba rzeczywista. Liczba 1 x = 2 jest miejscem zerowym tej funkcji. Stąd wynika, że
A) a = 21 B) a = − 22 C) a = − 23 D) a = 10

Zadanie 6
(1 pkt)

Liczba rzeczywistych rozwiązań równania (5 − 3x 2)(2x3 + 3) = 5(2x 3 + 3 ) jest równa
A) 5 B) 3 C) 2 D) 4

Zadanie 7
(1 pkt)

Dla pewnych liczb a i b zachodzą równości: 2 2 √ -- a = b + 5 − 3 2 i √ -- a = b + 1 − 2 2 . Wartość wyrażenia a + b jest równa
A) √ -- − 1 − 2 B) √ -- 2 − 1 C) √ -- 1 + 2 D) √ -- 1 − 2

Informacja do zadań 8 i 9

Na rysunku przedstawiony jest fragment paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej f , określonej dla wszystkich liczb rzeczywistych. Do tego wykresu należą punkty (− 3,6) i (4,6) , a liczba − 5 jest miejscem zerowym funkcji f .

PIC
Zadanie 8
(1 pkt)

Drugim miejscem zerowym funkcji f jest liczba
A) 13 2 B) 6 C) 11 2 D) 5

Zadanie 9
(1 pkt)

Największa wartość funkcji w przedziale ⟨− 3,0 ⟩ , to
A) 10 B) 12112- C) 221 D) 9

Zadanie 10
(1 pkt)

Dany jest rosnący ciąg arytmetyczny (an) , określony dla liczb naturalnych n ≥ 1 , o wyrazach dodatnich. Jeśli a + a = a + a 4 11 9 k , to k jest równe
A) 8 B) 7 C) 6 D) 5

Zadanie 11
(1 pkt)

Dany jest ciąg geometryczny (an) , określony dla n ≥ 1 , w którym 1 a1 = − 2 , 1- a4 = 16 . Suma czterech początkowych wyrazów ciągu (an ) jest równa
A) − 58 B) − 38 C) − 1 4 D) − 5- 16

Zadanie 12
(1 pkt)

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji f .

PIC

Najdłuższy przedział, na którym funkcja f jest malejąca to
A) ⟨2,6⟩ B) ⟨− 3,0⟩ C) ⟨2,3⟩ D) ⟨4,6⟩

Zadanie 13
(1 pkt)

Cosinus kąta rozwartego α jest równy − 12 13 . Wtedy
A) 1- sin α = 13 B) 1- sinα = − 13 C) 5 sin α = − 13 D) 5 sinα = 13

Zadanie 14
(1 pkt)

Na okręgu opisanym na kwadracie ABCD wybrano punkt E w ten sposób, że |AE | = |DE | .

PIC

Miara kąta oznaczonego na rysunku literą α jest równa
A) 135 ∘ B) 120∘ C) 15 0∘ D) 14 5∘

Zadanie 15
(1 pkt)

Punkty A = (− 4,− 1),B = (1,− 6) i C = (2,1) są trzema kolejnymi wierzchołkami rombu ABCD . Pole tego rombu jest równe
A) 40 B) √ --- 4 10 C) 80 D) 20

Zadanie 16
(1 pkt)

Dokończ zdanie tak, aby otrzymać zdanie prawdziwe.
Pary liczb (x,y) = (2 ,− 1 ) i (x ,y) = (− 1,5) należą do zbioru rozwiązań układu równań
A) { x + 3y = − 1 2x + 3y = 1 B) { 2x + 3y = 1 2x + 3y = 4 C) { 2x + 6y = − 2 3x + 9y = − 3 D) { 2x+ y = 3 4x+ 2y = 6

Zadanie 17
(1 pkt)

W urnie zawierającej kule białe i czarne jest 60 kul. Losujemy jedną kulę. Jeśli prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej jest równe 3 5 , to kul czarnych w tej urnie jest
A) 30 B) 24 C) 20 D) 36

Zadanie 18
(1 pkt)

Prosta y = 3x − 5 4 jest osią symetrii trójkąta ABC , w którym A = (− 6 ,2 ) i B = (8,1) . Bok AC tego trójkąta jest zawarty w prostej o równaniu
A) y = − 43x− 6 B) y = 34x+ 123 C) y = − 4 x+ 35 3 3 D) y = 3x + 5 4

Zadanie 19
(1 pkt)

W układzie współrzędnych na płaszczyźnie danych jest 5 punktów: A = (1,4 ) , B = (− 5,− 1) , C = (− 5,3) , D = (6 ,−4 ) , P = (− 5 4,49) . Punkt P należy do tej samej ćwiartki układu współrzędnych co punkt
A) A B) B C) C D) D

Zadanie 20
(1 pkt)

Odcinek AE jest dwusieczną kąta BAD w równoległoboku ABCD . Miara kąta AED jest równa 28 ∘ .

PIC

Miara kąta ABC jest równa
A) 112 ∘ B) 56∘ C) 15 2∘ D) 124 ∘

Zadanie 21
(1 pkt)

Ile jest wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych podzielnych przez 6 i niepodzielnych przez 4?
A) 150 B) 75 C) 83 D) 68

Zadanie 22
(1 pkt)

Pole powierzchni kuli o promieniu 6 cm jest równe polu powierzchni całkowitej stożka o promieniu podstawy 8 cm. Pole powierzchni bocznej stożka jest równe
A) 144 π cm 2 B) 80π cm 2 C) 2 64π cm D) 2 96π cm

Zadanie 23
(1 pkt)

Dany jest sześcian ABCDEF GH . Przekątne AC i BD ściany ABCD sześcianu przecinają się w punkcie P (zobacz rysunek).

PIC

Tangens kąta, jaki odcinek P E tworzy z płaszczyzną ADHE , jest równy
A) √ -- 6 B) √- -6- 6 C) √- -5- 5 D) √ -- 5

Zadanie 24
(1 pkt)

Dany jest prostopadłościan o wymiarach 24 cm × 32 cm × 96 cm (zobacz rysunek), a ponadto dane są cztery odcinki a,b,c,d , o długościach – odpowiednio – 89 cm, 101 cm, 110 cm i 121 cm.

PIC

Przekątna tego prostopadłościanu jest dłuższa
A) tylko od odcinka a .
B) tylko od odcinków a i b .
C) tylko od odcinków a,b i c .
D) od wszystkich czterech danych odcinków.

Zadanie 25
(1 pkt)

Mediana dziesięciu liczb naturalnych: 3, 10, 5, x , x , x , x , 12, 19, 7 jest równa 14. Średnia arytmetyczna tych liczb jest równa
A) 16 B) 12 C) 12,2 D) 14

Zadania otwarte

Zadanie 26
(2 pkt)

Rozwiąż równanie (x2+0,1x− 0,02)(x3−0,008) --------x2−-0,04------- = 0 .

Zadanie 27
(2 pkt)

Rozwiąż nierówność 2 2x − x ≤ 10 .

Zadanie 28
(2 pkt)

Trójkąt ABC jest trójkątem równobocznym o boku długości a . Wykaż, że łuk okręgu opisanego na tym trójkącie zawarty między wierzchołkami B i C ma długość większą niż 120%a .

PIC

Zadanie 29
(2 pkt)

Wykaż, że jeżeli liczby rzeczywiste x i y spełniają warunek

6 6 x--+-y--= x3 + y3 − 1 , 2

to x = y = 1 .

Zadanie 30
(2 pkt)

Ze zbioru wszystkich liczb trzycyfrowych losujemy dwa razy po jednej liczbie ze zwracaniem. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A polegającego na wylosowaniu liczb, których iloczyn jest liczbą nieparzystą.

Zadanie 31
(2 pkt)

Przekątne rombu ABCD przecinają się w punkcie ( ) S = − 132 ,12 . Punkty A i C leżą na prostej o równaniu 15 y = − 3x − 2- . Wyznacz równanie prostej BD .

Zadanie 32
(4 pkt)

Środek okręgu leży w odległości 8 cm od cięciwy tego okręgu. Długość tej cięciwy jest o 13 cm większa od promienia tego okręgu. Oblicz promień tego okręgu.

Zadanie 33
(4 pkt)

Liczby rzeczywiste x i z spełniają warunek 2x − z = 1 . Wyznacz takie wartości x i z , dla których wyrażenie ----4----- 3x2+z2+ 2xz przyjmuje największą wartość. Podaj tę największą wartość.

Zadanie 34
(5 pkt)

W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym ABCS krawędź podstawy ma długość 12, a jego objętość jest równa √ -- 72 3 . Kąt α jest kątem między krawędziami bocznymi SA i SB (zobacz rysunek). Oblicz sinus kąta α .

PIC

Arkusz Wersja PDF
Rozwiązania