/Szkoła średnia

Egzamin Maturalny
z Matematyki (termin dodatkowy)
poziom rozszerzony 2 czerwca 2022 Czas pracy: 180 minut

Zadania zamknięte

Zadanie 1
(1 pkt)

Wiadomo, że log 2 = a 5 oraz lo g53 = b . Wtedy liczba log184 0 jest równa
A) 3aa++1b B) 2aa++b1 C) 2a+-1 a+ 2b D) 3a+-1 2b+a

Zadanie 2
(1 pkt)

Granica lim 0,5x2+-3,5x+6 x→− 3 −x2+2x+ 15 jest równa
A) ( ) − 1 8 B) 1- 16 C) ( ) − -1 16 D) 7 4

Zadanie 3
(1 pkt)

Sumą wektorów → [ 2 ] a = 2 + 2m ,3n + 1 oraz → b = [n + 1,m + 2] jest wektor → c = [0,0] . Wynika stąd, że
A) m = 1 i n = 3 B) m = − 9 i n = − 21 C) m = 3 i n = − 9 D) m = − 1 i n = 0

Zadanie 4
(1 pkt)

Pole trójkąta ostrokątnego o bokach 5 i 6 jest równe 9. Długość trzeciego boku tego trójkąta jest równa
A) 5 B) 6 C) √ --- 41 D) √ --- 13

Zadania otwarte

Zadanie 5
(2 pkt)

Wśród 390 pracowników pewnej firmy jest 150 kobiet i 240 mężczyzn. Wśród nich w wieku przedemerytalnym jest 21 kobiet i 43 mężczyzn. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że losowo wybrany pracownik tej firmy jest w wieku przedemerytalnym – pod warunkiem że jest mężczyzną.

Zadanie 6
(3 pkt)

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej x i dla każdej liczby rzeczywistej y takich, że x ⁄= y , spełniona jest nierówność

x4 + y4 > xy (x 2 + y2).

Zadanie 7
(3 pkt)

Oblicz, ile jest wszystkich liczb naturalnych pięciocyfrowych, w których zapisie występują dokładnie dwie cyfry nieparzyste.

Zadanie 8
(3 pkt)

Rozwiąż nierówność

3x+--1-≤ 3x-+--4. 2x+ 1 2x + 3

Zadanie 9
(3 pkt)

W trapezie ABCD o podstawach AB i CD przez punkt O przecięcia się przekątnych poprowadzono dwie proste równoległe do boków BC i AD . Prosta równoległa do boku BC przecina bok AB w punkcie B′ , a prosta równoległa do boku AD przecina bok AB w punkcie ′ A . Wykaż, że ′ ′ |AA | = |BB | .

Zadanie 10
(4 pkt)

Dany jest nieskończony ciąg geometryczny (an) , określony dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1 , którego iloraz q jest równy pierwszemu wyrazowi i spełnia warunek |q| < 1 . Stosunek sumy SN wszystkich wyrazów tego ciągu o numerach nieparzystych do sumy SP wszystkich wyrazów tego ciągu o numerach parzystych jest równy różnicy tych sum, tj. SN-- SP = SN − SP . Oblicz q .

Zadanie 11
(4 pkt)

Rozwiąż równanie √ -- cos(3x) + 3 sin (3x)+ 1 = 0 w przedziale ⟨0 ,π⟩ .

Zadanie 12
(5 pkt)

Podstawą graniastosłupa prostego ABCDA 1B 1C1D 1 jest trapez równoramienny ABCD wpisany w okrąg o środku O i promieniu R . Dłuższa podstawa AB trapezu jest średnicą tego okręgu, a krótsza – cięciwą odpowiadającą kątowi środkowemu o mierze 2α (zobacz rysunek). Przekątna ściany bocznej zawierającej ramię trapezu jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem o mierze α . Wyznacz objętość tego graniastosłupa jako funkcję promienia R i miary kąta α .

ZINFO-FIGURE

Zadanie 13
(6 pkt)

Wyznacz wszystkie wartości parametru m , dla których równanie

(x − 4 )[x 2 + (m − 3)x + m 2 − m − 6] = 0

ma trzy różne rozwiązania rzeczywiste x1,x2 oraz x3 , spełniające warunek

2 2 2 x1 ⋅x 2 ⋅x3 > x1 + x2 + x3 − 5m − 5 1.

Zadanie 14
(6 pkt)

Dane są okrąg o1 o równaniu 2 2 (x− 6) + (y− 4) = 98 oraz okrąg o2 o promieniu √ -- 2 5 . Środki okręgów o1 i o2 leżą po różnych stronach prostej k o równaniu y = − 3x − 6 , a punkty wspólne obu okręgów leżą na prostej k . Wyznacz równanie okręgu o2 .

Zadanie 15
(7 pkt)

Rozpatrujemy wszystkie trójkąty równoramienne ostrokątne ABC (|AC | = |BC | ), na których opisano okrąg o promieniu R = 1 . Niech x oznacza odległość środka okręgu od podstawy AB trójkąta.

  • Wykaż, że pole P każdego z tych trójkątów, jako funkcja długości x , wyraża się wzorem √ ------- P(x) = (x+ 1) 1− x2 .

  • Wyznacz dziedzinę funkcji P .

  • Oblicz długość odcinka x tego z rozpatrywanych trójkątów, który ma największe pole. Oblicz to największe pole.

Arkusz Wersja PDF
Rozwiązania