/Szkoła średnia

Próbny Egzamin Maturalny
z Matematyki Zestaw przygotowany przez serwis zadania.info poziom podstawowy 16 marca 2024 Czas pracy: 180 minut

Zadanie 1

(1 pkt)

Na osi liczbowej zaznaczono sumę przedziałów.

ZINFO-FIGURE

Zbiór zaznaczony na osi jest zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności
A) |x + 0,5| ≥ 3,5 B) |x + 3,5| ≥ 0,5
C) |x+ 3,5| ≤ 0,5 D) |x + 0 ,5 | ≤ 3 ,5

Zadanie 2

(1 pkt)

Dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej iloczyn √ -- 3√ --- √ -- x ⋅ x2 ⋅ 6 x jest równy
A) √ -- x ⋅ 3x B) √ -- 12x C) 1√8x-- D)

Zadanie 3

(1 pkt)

Pani Weronika wpłaciła do banku pewną kwotę na lokatę dwuletnią. Po każdym rocznym okresie oszczędzania bank doliczał odsetki w wysokości 4% od kwoty bieżącego kapitału znajdującego się na lokacie. Po dwóch latach oszczędzania kapitał zgromadzony na lokacie (bez uwzględnienia podatków) był o 270,40 zł większy od kapitału zgromadzonego po roku oszczędzania. Kwota wpłacona przez panią Weronikę na tę lokatę była równa
A) 5800 zł B) 6500 zł C) 6400 zł D) 4800 zł

Zadanie 4

(1 pkt)

Wartość wyrażenia 2 √ -- 2 √ -- lo g216 2 − log 22 2 jest równa
A) 9 B) 18 C) − 3 D) 4

Zadanie 5

(2 pkt)

Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1 liczba 3n3 + 24n2 + 9n jest podzielna przez 6.

Zadanie 6

(1 pkt)

Dla każdej liczby rzeczywistej różnej od (− 3) i (− 2) wartość wyrażenia

x+ 2 x2 + 3x x2 +-6x+--9-⋅-2x+--4-

jest równa wartości wyrażenia
A) --x-- 2x+ 6 B) x 4 C) x 2 D) --x23+2x2-- 4x +24x+36

Zadanie 7

(1 pkt)

Funkcja liniowa jest określona wzorem f(x) = − 2x + 1 . Funkcja jest liniowa. W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) wykres funkcji przechodzi przez punkt P = (− 3,2) i jest prostopadły do wykresu funkcji . Wzorem funkcji jest
A) g(x ) = − 2x − 4 B) g(x ) = − 2x + 8 C) g(x) = 12x+ 12 D) g(x) = 12 x+ 72

Informacja do zadań 8.1 – 8.4

W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej (zobacz rysunek). Wierzchołek paraboli, która jest wykresem funkcji y = f(x) , oraz punkty przecięcia paraboli z osiami układu współrzędnych mają współrzędne całkowite.

Zadanie 8.1

(1 pkt)

Zbiorem wartości funkcji y = − 2f(x) jest przedział
A) [− 24,+ ∞ ) B) (− ∞ ,12] C) (− ∞ ,− 12] D) [24,+ ∞ )

Zadanie 8.2

(2 pkt)

Dokończ zdanie. Wybierz dwie właściwe odpowiedzi spośród podanych.
Wzór funkcji można przedstawić w postaci:
A) f (x) = − 1(x + 9)(x − 3 ) 3 B) 1 f (x) = − 3(x − 9)(x + 3 )
C) − 1x2 + 2x + 9 3 D) f(x) = − 1x2 − 2x + 9 3

E) 1 2 − 3(x − 3) + 12 F) 1 2 − 3(x + 3) − 12

Zadanie 8.3

(1 pkt)

Wyznacz zbiór wszystkich argumentów, dla których funkcja przyjmuje wartości ujemne.

Zadanie 8.4

(1 pkt)

Funkcja kwadratowa jest określona za pomocą funkcji następująco: g(x) = f (x− 1) . Fragment wykresu funkcji y = g (x) przedstawiono na rysunku

ZINFO-FIGURE

Zadanie 9

(3 pkt)

Rozwiąż równanie 3 2 5x − 3x − 20x + 12 = 0 .

Zadanie 10

(1 pkt)

Najmniejszą liczbą spełniającą nierówność

2 − x − 2(x + m ) ≤ ------ 3

jest x = − 4 . Liczba jest więc równa
A) − 4 B) − 2 C) 4 D) 3

Zadanie 11

(1 pkt)

Funkcja liniowa jest określona wzorem f(x) = ax + b , gdzie i są pewnymi liczbami rzeczywistymi. Wykres tej funkcji przechodzi przez punkt P = (− 2,3) . Liczba oraz liczba we wzorze funkcji nie mogą spełniać warunku:
A) a > 0 i b > 0 B) a > 0 i b < 0 C) a < 0 i b > 0 D) a < 0 i b < 0

Zadanie 12

(1 pkt)

Trzywyrazowy ciąg (1 − 2a,1 2,− 36) jest geometryczny. Liczba jest równa
A) (− 1) B) 5 C) 4 D) 2,5

Zadanie 13

(1 pkt)

Równanie (x2+-2x)(x+3)-= 0 x2−9 w zbiorze liczb rzeczywistych ma dokładnie
A) cztery rozwiązania. B) trzy rozwiązania.
C) dwa rozwiązania. D) jedno rozwiązanie.

Zadanie 14

(3 pkt)

Objętość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa 400. Wysokość ściany bocznej tego ostrosłupa tworzy z płaszczyzną podstawy kąt o mierze taki, że 12- tg α = 5 .

ZINFO-FIGURE

Oblicz wysokość ściany bocznej tego ostrosłupa.

Informacja do zadań 15.1 – 15.3

W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) narysowano wykres funkcji y = f(x ) (zobacz rysunek).

Zadanie 15.1

(1 pkt)

Wyznacz zbiór wszystkich rozwiązań nierówności |f(x)| ≥ 1 .

Zadanie 15.2

(1 pkt)

Dziedziną funkcji y = f(−x ) jest zbiór
A) (− 6,0) ∪ [1 ,5) B) (− 6,5) C) (− 3,− 1)∪ (1,4]

D) [− 4,− 1)∪ (1 ,3 ) E) (− 5,− 1]∪ (0,6) F) (−5 ,6)

Zadanie 15.3

(1 pkt)

Zbiorem wartości funkcji jest zbiór
A) [− 6,0)∪ [1,5) B) [− 3,4] C) (− 6,0) ∪ (1,5)

D) [− 3,− 1)∪ (1 ,4 ] E) (− 3,4 ] F) [− 3,− 1] ∪ [1 ,4 ]

Zadanie 16

(2 pkt)

Pani Dagmara spłaciła pożyczkę w wysokości 8800 zł w szesnastu ratach. Każda kolejna rata była mniejsza od poprzedniej o 40 zł. Oblicz kwotę pierwszej raty.

Zadanie 17

(1 pkt)

W rombie ABCD dłuższa przekątna ma długość 8, a kąt rozwarty tego rombu ma miarę ∘ 12 0 (zobacz rysunek).

ZINFO-FIGURE

Pole rombu ABCD jest równe
A) √ - 16--3 3 B) 8 C) √- 32-3- 3 D) 16

Zadanie 18

(1 pkt)

Punkty A ,B ,C leżą na okręgu o środku w punkcie (zobacz rysunek).

ZINFO-FIGURE

Suma miar kątów ABO i ACB jest równa
A) 90∘ B) 7 5∘ C) 60∘ D) 120∘

Zadanie 19

(1 pkt)

Proste o równaniach: (m + 2)x + y + 5 = 0 i my + 7m + 3 = 0 są równoległe, gdy
A) m = 5 B) m = 0 C) m = − 2 D) m = 3

Zadanie 20

(1 pkt)

Dany jest graniastosłup prawidłowy czworokątny, w którym krawędź podstawy ma długość 12. Przekątna graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod takim, że √- co sα = 2-2- 3 . Długość przekątnej tego graniastosłupa jest równa
A) 18 B) √ -- 1 2 2 C) √ -- 6 2 D) 8

Zadanie 21

(1 pkt)

W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) , danych jest 5 prostych o równaniach

2x + 3y = 2, 3x + 2y = − 12 , x + y = −2 , x − y = −1 4, − 2x + y = 22.

Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, lub F – jeśli jest fałszywe.

Wśród podanych prostych są proste prostopadłe.	P	F
Wszystkie podane proste przecinają się w jednym punkcie.	P	F

Zadanie 22

(1 pkt)

Wysokość trójkąta równobocznego jest równa - 4,5⋅√3- 2 . Wysokość trójkąta równobocznego jest równa √ - 1,5⋅-3 2 .
Dokończ zdanie tak, aby było prawdziwe. Wybierz odpowiedź A albo B oraz jej uzasadnienie 1, 2 albo 3.
Stosunek pola trójkąta T 1 do pola trójkąta jest równy

A) 3,

B) 9,

ponieważ

1)	bok trójkąta jest 9 razy krótszy od boku trójkąta .
2)	wysokość trójkąta jest 3 razy krótsza od wysokości trójkąta .
3)	bok trójkąta jest o 3 krótszy od boku trójkąta .

Informacja do zadań 23.1 i 23.2

Na diagramie poniżej przedstawiono ceny 1 kostki masła (200 g) w stu wybranych sklepach.

Zadanie 23.1

(1 pkt)

Mediana ceny 1 kostki masła w tych wybranych sklepach jest równa
A) 8,00 zł B) 7,95 zł C) 7,90 zł D) 8,10 zł E) 8,05 zł

Zadanie 23.2

(1 pkt)

Średnia cena 1 kostki masła w tych wybranych sklepach, z dokładnością do dwóch cyfr po przecinku, jest równa
A) 8,01 zł B) 7,99 zł C) 8,00 zł D) 8,03 zł E) 8,05 zł

Zadanie 24

(1 pkt)

Dla każdego kąta ostrego wyrażenie 2 sin α − sin α⋅co s α jest równe
A) 2 cos α B) 3 sin α C) 1 − cos2 α D) sinα

Zadanie 25

(2 pkt)

W pewnej liczbie ośmiocyfrowej zarówno pierwsze trzy cyfry, jak i trzy ostatnie cyfry, są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego o różnicy (− 2 ) . Oblicz, ile jest takich liczb ośmiocyfrowych.

Zadanie 26

(1 pkt)

Ciąg (an) jest określony wzorem 2n−1 n+-1 an = (− 1) ⋅ 249 dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1 . Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, lub F – jeśli jest fałszywe.

Wśród wyrazów ciągu są zarówno liczby dodatnie jak i liczby ujemne.	P	F
Wśród wyrazów ciągu jest co najmniej 10 liczb całkowitych.	P	F

Zadanie 27

(1 pkt)

Ze zbioru liczb {1 ,2,3,4,5} losujemy bez zwracania kolejno dwa razy po jednej liczbie. Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, lub F – jeśli jest fałszywe.

Prawdopodobieństwo wylosowania dwóch liczb mniejszych od 4 jest równe prawdopodobieństwu wylosowania dwóch liczb większych od 2.	P	F
Prawdopodobieństwo tego, że pierwsza liczba jest większa od drugiej jest równe .	P	F

Zadanie 28

(1 pkt)

W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) punkt A = (2,− 3) jest wierzchołkiem równoległoboku ABCD . Punkt S = (− 1,3) jest środkiem symetrii tego równoległoboku. Długość przekątnej równoległoboku ABCD jest równa
A) √ -- 5 B) √ -- 2 5 C) √ -- 3 5 D) √ -- 6 5

Zadanie 29

(4 pkt)

Działka ma kształt trapezu. Podstawy i tego trapezu mają długości |AB | = 315 m oraz |CD | = 7 2 m . Wysokość trapezu jest równa 54 m, a jego kąty DAB i ABC są ostre. Z działki postanowiono wydzielić plac w kształcie prostokąta z przeznaczeniem na parking. Dwa z wierzchołków tego prostokąta mają leżeć na podstawie tego trapezu, a dwa pozostałe – oraz – na ramionach i trapezu (zobacz rysunek).