/Szkoła średnia

Próbny Egzamin Maturalny
z Matematyki Zestaw przygotowany przez serwis www.zadania.info poziom rozszerzony 16 kwietnia 2016 Czas pracy: 180 minut

Zadania zamknięte

Zadanie 1
(1 pkt)

Ciąg (an) jest określony wzorem an+1 = 3− an dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1 . Suma pięćdziesięciu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa
A) 150 B) 75 C) 50 D) 100

Zadanie 2
(1 pkt)

Dana jest funkcja f określona wzorem { lo g|− x+ 2| dla x ≤ 1 f(x) = ∘ -----√------- x − 6 x + 9 dla x > 1
Równanie f(x ) = 2 ma dokładnie
A) jedno rozwiązanie. B) dwa rozwiązania. C) trzy rozwiązania. D) cztery rozwiązania.

Zadanie 3
(1 pkt)

Suma

2016 + 2 0,16+ 0,2016 + 0,00 2016 + ⋅⋅⋅

wszystkich wyrazów nieskończonego ciągu liczb rzeczywistych jest równa
A) 201600 B) 2240 C) 2241010- D) 20160 99

Zadanie 4
(1 pkt)

Na rysunku przedstawiono fragment wykresu pochodnej y = f′(x) funkcji y = f (x) .

PIC

Wynika stąd, że
A) f(− 6) < f(− 5) B) f(− 5) < f(0) C) f(7) > f (0) D) f (6) > f(5)

Zadanie 5
(1 pkt)

Dziedziną funkcji ∘ ---x3--- x√x f (x) = x2+-5x−-6 − √x2+-5x−-6- jest
A) (1,+ ∞ ) B) (− 6,0⟩ ∪ (1,+ ∞ ) C) ⟨0,+ ∞ ) D) (−∞ ,− 6 )∪ (1,+ ∞ )

Zadania otwarte

Zadanie 6
(2 pkt)

Oblicz granicę jednostronną lim log0,5(3+x) x→ − 3+ 3+x .

Zadanie 7
(3 pkt)

Z wierzchołków czworokąta ABCD poprowadzono półproste, które przecinają się w wierzchołkach czworokąta PQRS wpisanego w okrąg (zobacz rysunek).

PIC

Wykaż, że jeżeli półproste AP , BP i CR są dwusiecznymi odpowiednio kątów DAB , ABC i BCD , to półprosta DR jest dwusieczną kąta CDA .

Zadanie 8
(3 pkt)

Wykaż, że jeżeli wielomian W (x) jest podzielny przez (x+ 3)3 , to wielomian W ′(x) jest podzielny przez (x + 3)2 .

Zadanie 9
(3 pkt)

Rozwiąż równanie 1 6sin4x + 8cos 2x = 5 w przedziale ⟨− 2π ,− π⟩ .

Zadanie 10
(3 pkt)

Funkcja f określona jest wzorem f(x ) = x3 + 2x2 − 1 dla każdej liczby rzeczywistej x . Wyznacz równania tych stycznych do wykresu funkcji f , które są równoległe do prostej o równaniu y = 4x .

Zadanie 11
(4 pkt)

Pole trapezu równoramiennego opisanego na okręgu jest równe 80, a cosinus kąta rozwartego tego trapezu jest równy 3 − 5 . Oblicz długość ramienia tego trapezu.

Zadanie 12
(4 pkt)

W pierwszej urnie umieszczono 5 kul białych i 4 kule czarne, a w drugiej urnie 6 kul białych i 7 kul czarnych. Losujemy jedną kulę z pierwszej urny, przekładamy ją do urny drugiej i dodatkowo wyjmujemy z drugiej urny jeszcze dwie kule koloru innego, niż kolor wylosowanej kuli. Następnie losujemy dwie kule z urny drugiej. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że obie kule wylosowane z drugiej urny będą czarne.

Zadanie 13
(5 pkt)

Dla jakich wartości parametru m jeden z pierwiastków równania (1 − 3m )x2 + (3m − 1)x + 4m 2 = 0 jest połową drugiego pierwiastka?

Zadanie 14
(6 pkt)

Wyznacz równanie okręgu wpisanego w deltoid, którego boki są zawarte w prostych o równaniach x + 3 = 0 , y+ 2 = 0 , x+ 2y = 3 i y + 2x = 2 .

Zadanie 15
(6 pkt)

Podstawą ostrosłupa ABCDS jest czworokąt ABCD . Przekątna AC tego czworokąta ma długość √ -- 10 3 , a kąt ADC ma miarę ∘ 1 20 . Każda krawędź boczna tego ostrosłupa ma tę samą długość 26. Oblicz odległość środka wysokości tego ostrosłupa od krawędzi AS .

Zadanie 16
(6 pkt)

Podstawą prostopadłościanu jest prostokąt, w którym jeden bok jest dwa razy dłuższy od drugiego. Pole powierzchni całkowitej tego prostopadłościanu jest równe 1. Jakie powinny być wymiary tego prostopadłościanu, aby jego objętość była największa? Oblicz tę największą objętość.

Arkusz Wersja PDF
Rozwiązania