/Szkoła średnia

Poprawkowy Egzamin Maturalny
z Matematyki poziom podstawowy 23 sierpnia 2022 Czas pracy: 170 minut

Zadania zamknięte

Zadanie 1
(1 pkt)

Liczba 8−40 210 jest równa
A) 4− 4 B) 4−50 C) 2− 47 D) 2− 130

Zadanie 2
(1 pkt)

Liczba log2 32 − log28 jest równa
A) 2 B) 14 C) 16 D) 24

Zadanie 3
(1 pkt)

Liczba √ -- (5 − 2 3)2 jest równa
A) √ -- 25 + 4 3 B) √ -- 25− 4 3 C) √ -- 37 + 20 3 D) √ -- 37 − 20 3

Zadanie 4
(1 pkt)

Cenę x (w złotych) pewnego towaru obniżono najpierw o 30%, a następnie obniżono o 20% w odniesieniu do ceny obowiązującej w danym momencie. Po obydwu tych obniżkach cena towaru jest równa
A) 0,36 ⋅x złotych. B) 0,44 ⋅x złotych.
C) 0,50 ⋅x złotych. D) 0,5 6⋅x złotych.

Zadanie 5
(1 pkt)

Jednym z rozwiązań równania 2 5 (x+ 1)− x (x+ 1) = 0 jest liczba
A) 1 B) (− 1) C) 5 D) (− 5)

Zadanie 6
(1 pkt)

Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności 8x−4-3-> 6x jest przedział
A) (− ∞ ,− 3) 4 B) (− 3,+ ∞ ) 4 C) ( -3) − ∞ ,− 16 D) ( 3- ) − 16 ,+ ∞

Zadanie 7
(1 pkt)

Suma wszystkich rozwiązań równania (2x − 1)(2x − 2)(x + 2) = 0 jest równa
A) ( ) − 7 2 B) ( ) − 1 2 C) 1 2 D) 1

Zadanie 8
(1 pkt)

Punkt A = (1 ,2 ) należy do wykresu funkcji f , określonej wzorem

f(x) = (m 2 − 3)x3 − m 2 + m + 1

dla każdej liczby rzeczywistej x . Wtedy
A) m = − 4 B) m = −2 C) m = 0 D) m = 4

Zadanie 9
(1 pkt)

Funkcja liniowa f określona wzorem f(x) = (2m − 5)x + 22 jest rosnąca dla
A) m > 2 5 B) m > 2,5 C) m > 0 D) m > 2

Zadanie 10
(1 pkt)

Funkcja kwadratowa f określona wzorem 2 f(x) = x + bx + c osiąga dla x = 2 wartość najmniejszą równą 4. Wtedy
A) b = − 4 , c = 8 B) b = 4, c = − 8
C) b = − 4, c = − 8 D) b = 4, c = 8

Zadanie 11
(1 pkt)

Dana jest funkcja kwadratowa f określona wzorem f(x ) = − 2(x− 2)(x + 1) . Funkcja f jest rosnąca w zbiorze
A) ( ⟩ − ∞ , 12 B) (− 1,2) C) ( 5) 0,2 D) ⟨ 5 ) 2,+∞

Zadanie 12
(1 pkt)

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji f określonej na zbiorze ⟨− 2,5) .

PIC

Funkcja g jest określona za pomocą funkcji f następująco: g(x ) = f(x − 1) . Wykres funkcji g można otrzymać poprzez odpowiednie przesunięcie wykresu funkcji f . Dziedziną funkcji g jest zbiór
A) ⟨0,2) B) ⟨− 1,6 ) C) ⟨− 3,4) D) ⟨1,3)

Zadanie 13
(1 pkt)

Dane są ciągi an = 3n oraz bn = 4n − 2 , określone dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1 . Liczba 10
A) jest wyrazem ciągu (an ) i jest wyrazem ciągu (bn) .
B) jest wyrazem ciągu (an) i nie jest wyrazem ciągu (bn) .
C) nie jest wyrazem ciągu (an) i jest wyrazem ciągu (bn) .
D) nie jest wyrazem ciągu (a ) n i nie jest wyrazem ciągu (b ) n .

Zadanie 14
(1 pkt)

Dany jest ciąg geometryczny (an) , określony dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1 . Drugi wyraz tego ciągu oraz iloraz ciągu (an ) są równe 2. Suma pięciu początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu jest równa
A) 1 B) 11 C) 21 D) 31

Zadanie 15
(1 pkt)

W ciągu dwóch godzin trzy jednakowe maszyny produkują razem 1200 guzików. Ile guzików wyprodukuje pięć takich maszyn w ciągu jednej godziny? Przyjmij, że maszyny pracują z taką samą, stałą wydajnością.
A) 800 B) 900 C) 1000 D) 1500

Zadanie 16
(1 pkt)

Przyprostokątna AC trójkąta prostokątnego ABC ma długość 6, a przeciwprostokątna AB ma długość √ -- 3 5 . Wtedy tangens kąta ostrego CAB tego trójkąta jest równy
A) √-5 5 B) 2√-5 5 C) 1 2 D) 2

Zadanie 17
(1 pkt)

Nie istnieje kąt α , taki, że
A) 1 sin α = 3 i 2 cos α = 3 B) 5 sin α = 13 i cosα = 12 13
C) 3 sin α = 5 i 4 cosα = 5 D) 9- sinα = 15 i cosα = 1125

Zadanie 18
(1 pkt)

Wierzchołki A ,B ,C czworokąta ABSC leżą na okręgu o środku S . Kąt ABS ma miarę 40∘ (zobacz rysunek), a przekątna BC jest dwusieczną tego kąta.

PIC

Miara kąta ASC jest równa
A) 30∘ B) 4 0∘ C) 50∘ D) 60∘

Zadanie 19
(1 pkt)

Punkty A oraz B leżą na okręgu o środku S . Kąt środkowy ASB ma miarę 100∘ . Prosta l jest styczna do tego okręgu w punkcie A i tworzy z cięciwą AB okręgu kąt o mierze α (zobacz rysunek).

PIC

Wtedy
A) α = 40∘ B) α = 45∘ C) α = 5 0∘ D) α = 60∘

Zadanie 20
(1 pkt)

Pole prostokąta jest równe 16, a przekątne tego prostokąta przecinają się pod kątem ostrym α , takim, że sin α = 0,2 . Długość przekątnej tego prostokąta jest równa
A) √ -- 4 5 B) √ --- 4 10 C) 80 D) 160

Zadanie 21
(1 pkt)

Proste o równaniach y = 23x − 3 oraz y = (2m − 1)x + 1 są prostopadłe, gdy
A) m = − 5 4 B) m = − 1 4 C) 5 m = 6 D) 5 m = 4

Zadanie 22
(1 pkt)

Punkty A = (1,− 3) oraz C = (− 2,4) są końcami przekątnej AC rombu ABCD . Środek przekątnej BD tego rombu ma współrzędne
A) ( ) 1 1 − 2,2 B) ( ) 1 3 2,− 2 C) (− 1,2) D) (− 1,1)

Zadanie 23
(1 pkt)

Punkty A = (− 6,5) , B = (5,7) , C = (10,− 3) są wierzchołkami równoległoboku ABCD . Długość przekątnej BD tego równoległoboku jest równa
A) √ -- 3 5 B) √ -- 4 5 C) √ -- 6 5 D) √ -- 8 5

Zadanie 24
(1 pkt)

Obrazem prostej o równaniu y = 2x + 5 w symetrii osiowej względem osi Ox jest prosta o równaniu
A) y = 2x − 5 B) y = − 2x − 5 C) y = − 2x + 5 D) y = 2x + 5

Zadanie 25
(1 pkt)

W graniastosłupie prawidłowym stosunek liczby wszystkich krawędzi do liczby wszystkich ścian jest równy 7 : 3. Podstawą tego graniastosłupa jest
A) trójkąt. B) pięciokąt. C) siedmiokąt. D) ośmiokąt.

Zadanie 26
(1 pkt)

Średnia arytmetyczna zestawu liczb a,b,c,d jest równa 20. Wtedy średnia arytmetyczna zestawu liczb a− 1 0,b+ 30,c,d jest równa
A) 10 B) 20 C) 25 D) 30

Zadanie 27
(1 pkt)

Wszystkich trzycyfrowych liczb naturalnych większych od 300 o wszystkich cyfrach parzystych jest
A) 6 ⋅10 ⋅10 B) 3 ⋅10 ⋅10 C) 6 ⋅5⋅ 5 D) 3 ⋅5 ⋅5

Zadanie 28
(1 pkt)

Doświadczenie losowe polega na dwukrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry, która na każdej ściance ma inną liczbę oczek – od jednego do sześciu. Niech p oznacza prawdopodobieństwo otrzymania w drugim rzucie liczby oczek podzielnej przez 3. Wtedy
A) p = 1- 18 B) p = 1 6 C) 1 p = 3 D) 2 p = 3

Zadania otwarte

Zadanie 29
(2 pkt)

Rozwiąż nierówność 2 3x − 8x ≥ 3 .

Zadanie 30
(2 pkt)

Trójwyrazowy ciąg (x,y − 4 ,y) jest arytmetyczny. Suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa 6. Oblicz wszystkie wyrazy tego ciągu.

Zadanie 31
(2 pkt)

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej a różnej od 0 i każdej liczby rzeczywistej b różnej od 0 spełniona jest nierówność

2 2 2a − 4ab + 5b > 0 .

Zadanie 32
(2 pkt)

Rozwiąż równanie --4- x+ 2 = x − 1 .

Zadanie 33
(2 pkt)

Dany jest trójkąt równoboczny ABC o boku długości 24. Punkt E leży na boku AB , a punkt F – na boku BC tego trójkąta. Odcinek EF jest równoległy do boku AC i przechodzi przez środek S wysokości CD trójkąta ABC (zobacz rysunek).

PIC

Oblicz długość odcinka EF .

Zadanie 34
(2 pkt)

Ze zbioru pięciu liczb {− 5 ,−4 ,1,2,3} losujemy kolejno ze zwracaniem dwa razy po jednej liczbie. Zdarzenie A polega na wylosowaniu dwóch liczb, których iloczyn jest ujemny. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A .

Zadanie 35
(5 pkt)

Dany jest graniastosłup prosty ABCDEF GH , którego podstawą jest prostokąt ABCD . W tym graniastosłupie |BD | = 1 5 , a ponadto |CD | = 3+ |BC | oraz |∡CDG | = 60∘ (zobacz rysunek).

PIC

Oblicz objętość i pole powierzchni bocznej tego graniastosłupa.

Rozwiąż on-line Arkusz Wersja PDF
Rozwiązania