/Szkoła średnia

Próbny Egzamin Maturalny
z Matematyki (CKE)
poziom rozszerzony 10 marca 2021 Czas pracy: 180 minut

Zadania zamknięte

Zadanie 1

(1 pkt)

Liczba log 9 2 jest równa
A) 1 log34- B) log34 C) ---1√- log3 2 D) √ -- log 3 2

Zadanie 2

(1 pkt)

Dane są dwie urny z kulami. W pierwszej urnie jest 10 kul: 8 białych i 2 czarne, w drugiej jest 8 kul: 5 białych i 3 czarne. Wylosowanie każdej z urn jest jednakowo prawdopodobne. Wylosowano jedną z tych urn i wyciągnięto z niej losowo jedną kulę. Wyciągnięta kula była czarna. Prawdopodobieństwo zdarzenia, że wylosowana kula pochodziła z pierwszej z tych urn, jest równe
A) -2 18 B) 15- 23 C) -8 23 D) -5 18

Zadanie 3

(1 pkt)

Prosta dana równaniem 1 3 y = 2x + 2 jest prostopadła do stycznej do wykresu funkcji

4 3 2 f (x) = x − 3x + x + x + 5

w punkcie
A) (− 1,6) B) (0,5) C) (1,5) D) (2,3)

Zadanie 4

(1 pkt)

Liczba jest sumą wszystkich wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego o pierwszym wyrazie równym 1 i ilorazie √1- 3 . Liczba jest sumą wszystkich wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego o pierwszym wyrazie równym 1 i ilorazie ( ) − 1√-- 3 . Wynika stąd, że liczba x − y jest równa
A) 0 B) √ -- 3 C) --2-- √3− 1 D) 3

Zadania otwarte

Zadanie 5

(2 pkt)

Oblicz, ile jest liczb dziesięciocyfrowych takich, że suma cyfr w każdej z tych liczb jest równa 13 i żadna cyfra nie jest zerem.

Zadanie 6

(3 pkt)

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej większej od 2 i dla każdej liczby rzeczywistej prawdziwa jest nierówność 5x2 − 6xy + 3y 2 − 2x − 4 > 0 .

Zadanie 7

(4 pkt)

Rozwiąż równanie

√ -- ( π-) ( π-) --2- sin x+ 4 ⋅cos x + 4 = 4 .

Zadanie 8

(4 pkt)

Na przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego ABC zbudowano kwadrat ABDE .

Stosunek pola trójkąta do pola kwadratu jest równy . Wykaż, że suma tangensów kątów ostrych tego trójkąta jest równa 12k .

Zadanie 9

(4 pkt)

Czworokąt ABCD jest wpisany w okrąg o promieniu √ -- R = 5 2 . Przekątna tego czworokąta ma długość 10. Kąty wewnętrzne BAD i ADC czworokąta ABCD są ostre, a iloczyn sinusów wszystkich jego kątów wewnętrznych jest równy 3 8 . Oblicz miary kątów wewnętrznych tego czworokąta.

Zadanie 10

(4 pkt)

Reszty z dzielenia wielomianu 4 3 2 W (x) = x + bx + cx przez dwumiany (x− 2) i (x− 3) są odpowiednio równe (− 8) oraz (− 18) . Oblicz resztę z dzielenia wielomianu przez dwumian (x − 4) .

Zadanie 11

(4 pkt)

Dany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny ABCDEF . Krawędź podstawy tego graniastosłupa ma długość 4, a wysokość graniastosłupa jest równa 6 (zobacz rysunek).

Oblicz sinus kąta AF B .

Zadanie 12

(5 pkt)

Czterowyrazowy ciąg (a,b,c,d) jest rosnący i arytmetyczny. Kwadrat największego wyrazu tego ciągu jest równy podwojonej sumie kwadratów pozostałych wyrazów tego ciągu. Ponadto ciąg (a+ 1 00,b,c) jest geometryczny. Oblicz wyrazy ciągu .

Zadanie 13

(5 pkt)

Dany jest równoległobok, którego boki zawierają się w prostych o równaniach: y = x + b , y = x + 2b , y = b , y = 2 , gdzie liczba rzeczywista spełnia warunki: b ⁄= 2 i b ⁄= 0 . Wyznacz wszystkie wartości parametru , dla których pole tego równoległoboku jest równe 1.

Zadanie 14

(5 pkt)

Wyznacz wszystkie wartości parametru , dla których równanie 2 3 x − 2ax + a − 2a = 0 dwa różne rozwiązania dodatnie.

Zadanie 15

(6 pkt)

Rozpatrujemy wszystkie trójkąty ABC , których wierzchołki i leżą na wykresie funkcji określonej wzorem f (x) = x94 dla x ⁄= 0 . Punkt ma współrzędne ( ) 1 0,− 3 , a punkty i , są położone symetrycznie względem osi (zobacz rysunek). Oblicz współrzędne wierzchołków i , dla których pole trójkąta ABC jest najmniejsze. Oblicz to najmniejsze pole.