/Szkoła średnia

Egzamin Maturalny
z Matematyki (termin dodatkowy)
poziom podstawowy 5 czerwca 2018 Czas pracy: 170 minut

Zadania zamknięte

Zadanie 1
(1 pkt)

Dla x = 2√--+ 1 2 oraz √ -- y = 2− 1 wartość wyrażenia x2 − 2xy + y2 jest równa
A) 4 B) 1 C) √ -- 2 D) √1- 2

Zadanie 2
(1 pkt)

Dane są liczby a = log 8, b = log 8, c = lo g 1 12 4 42 . Liczby te spełniają warunek
A) a > b > c B) b > a > c C) c > b > a D) b > c > a

Zadanie 3
(1 pkt)

Wskaż liczbę spełniającą nierówność (4− x)(x + 3)(x + 4) > 0 .
A) 5 B) 16 C) − 4 D) − 2

Zadanie 4
(1 pkt)

Po dwukrotnej obniżce, za każdym razem o 10% w stosunku do ceny obowiązującej w chwili obniżki, komputer kosztuje 1944 złote. Stąd wynika, że przed tymi obniżkami ten komputer kosztował
A) 2200 złotych. B) 2300 złotych. C) 2400 złotych. D) 3000 złotych.

Zadanie 5
(1 pkt)

Na rysunku przedstawiony jest przedział (− 10,k⟩ , gdzie k jest liczbą całkowitą. Suma wszystkich liczb całkowitych należących do tego przedziału jest równa 21.

PIC

Stąd wynika, że
A) k = 9 B) k = 11 C) k = 21 D) k = 31

Zadanie 6
(1 pkt)

Równanie x − -1---= 0 2x+1
A) ma dokładnie dwa rozwiązania rzeczywiste.
B) ma dokładnie trzy rozwiązania rzeczywiste.
C) ma dokładnie jedno rozwiązanie rzeczywiste.
D) nie ma rozwiązań.

Zadanie 7
(1 pkt)

Liczbę 224 1111 można zapisać w postaci nieskończonego ułamka dziesiętnego okresowego. Dwudziestą cyfrą po przecinku jego rozwinięcia jest
A) 2 B) 0 C) 1 D) 6

Zadanie 8
(1 pkt)

Liczba 820−-2⋅420 220⋅410 jest równa
A) 0 B) 220 − 2 C) 219 D) 4 − 210

Zadanie 9
(1 pkt)

Funkcja f jest określona wzorem f(x ) = − 2(x + 2)−1(x − 3 )2 dla każdej liczby rzeczywistej x ⁄= − 2 . Wartość funkcji f dla argumentu 2 jest równa
A) − 8 B) − 1 2 C) 1 2 D) 8

Zadanie 10
(1 pkt)

Największą wartością funkcji 2 y = − (x − 2) + 4 w przedziale ⟨3 ,5⟩ jest
A) 4 B) 3 C) 0 D) 5

Zadanie 11
(1 pkt)

Funkcja liniowa 2 f (x) = (1 − m )x+ m − 1 nie ma miejsc zerowych dla
A) m = 1 B) m = 0 C) m = − 1 D) m = − 2

Zadanie 12
(1 pkt)

Na jednym z rysunków przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej określonej wzorem f (x) = − (x − 1)(3 − x) . Wskaż ten rysunek.

PIC

Zadanie 13
(1 pkt)

Wszystkie wyrazy ciągu geometrycznego (an) określonego dla n ≥ 1 są dodatnie i 3a2 = 2a 3 . Stąd wynika, że iloraz q tego ciągu jest równy
A) q = 2 3 B) q = 3 2 C) q = 6 D) q = 5

Zadanie 14
(1 pkt)

Dany jest ciąg arytmetyczny (an) określony wzorem an = 16− 1⋅ n 2 dla każdej liczby całkowitej n ≥ 1 . Różnica r tego ciągu jest równa
A) r = − 16 B) 1 r = − 2 C) r = − 312 D) r = 15 12

Zadanie 15
(1 pkt)

Długości boków trapezu równoramiennego są równe 12, 13, 2, 13.

PIC

Wysokość h tego trapezu jest równa
A) 5 B) 8 C) 10 D) 12

Zadanie 16
(1 pkt)

Liczba 1 − tg40 ∘ jest
A) ujemna. B) dodatnia, ale mniejsza od 0,1.
C) większa od 0,1, ale mniejsza od 0,5. D) większa od 0,5.

Zadanie 17
(1 pkt)

Odcinek AB jest średnicą okręgu o środku O i promieniu r . Na tym okręgu wybrano punkt C , taki, że |OB | = |BC | (zobacz rysunek).

PIC

Pole trójkąta AOC jest równe
A) 12r2 B) 14r2 C) π4-r2 D) √-3 2 4 r

Zadanie 18
(1 pkt)

Okrąg o środku S 1 = (2,1) i promieniu r oraz okrąg o środku S2 = (5,5) i promieniu 4 są styczne zewnętrznie. Wtedy
A) r = 1 B) r = 2 C) r = 3 D) r = 4

Zadanie 19
(1 pkt)

Miary kątów pewnego czworokąta pozostają w stosunku 2:3:3:4. Wynika stąd, że najmniejszy kąt tego czworokąta ma miarę
A) ∘ 60 B) ∘ 5 0 C) ∘ 40 D) ∘ 30

Zadanie 20
(1 pkt)

Dany jest walec, w którym wysokość jest równa promieniowi podstawy. Objętość tego walca jest równa 27 π . Wynika stąd, że promień podstawy tego walca jest równy
A) 9 B) 6 C) 3 D) 2

Zadanie 21
(1 pkt)

Stożek o promieniu podstawy r i kula o tym samym promieniu mają równe objętości. Tangens kąta między tworzącą i płaszczyzną podstawy tego stożka jest równy
A) 43 B) 12 C) √ --- 17 D) 4

Zadanie 22
(1 pkt)

Wśród 100 osób przeprowadzono ankietę, w której zadano pytanie o liczbę książek przeczytanych w ostatnim roku. Wyniki ankiety zebrano w poniższej tabeli.

Liczba książek 0 1 2 3 4 5
Liczba osób 23142817117

Średnia liczba przeczytanych książek przez jedną ankietowaną osobę jest równa
A) 0,5 B) 1 C) 2 D) 2,5

Zadanie 23
(1 pkt)

Gdy dodamy liczbę wszystkich krawędzi pewnego graniastosłupa do liczby wszystkich jego wierzchołków, to otrzymamy w wyniku 15. Liczba wszystkich krawędzi tego graniastosłupa jest równa
A) 9 B) 7 C) 6 D) 5

Zadanie 24
(1 pkt)

Liczba wszystkich dodatnich liczb czterocyfrowych parzystych, w których zapisie nie występują cyfry 0 i 2, jest równa
A) 8 ⋅8⋅ 8⋅3 B) 8⋅7 ⋅6 ⋅3 C) 8 ⋅10⋅ 10⋅ 4 D) 9 ⋅8⋅ 7⋅4

Zadanie 25
(1 pkt)

W pudełku znajdują się dwie kule: czarna i biała. Czterokrotnie losujemy ze zwracaniem jedną kulę z tego pudełka. Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że dokładnie trzy razy w czterech losowaniach wyciągniemy kulę koloru białego, jest równe
A) -1 16 B) 3 8 C) 1 4 D) 3 4

Zadania otwarte

Zadanie 26
(2 pkt)

Rozwiąż nierówność 2x (1− x)+ 1− x < 0 .

Zadanie 27
(2 pkt)

Wykresem funkcji kwadratowej f określonej wzorem 2 f(x) = x + bx+ c jest parabola, na której leży punkt A = (0,− 5) . Osią symetrii tej paraboli jest prosta o równaniu x = 7 . Oblicz wartości współczynników b i c .

Zadanie 28
(2 pkt)

Wykaż, że reszta z dzielenia sumy kwadratów czterech kolejnych liczb naturalnych przez 8 jest równa 6.

Zadanie 29
(2 pkt)

Dany jest prostokąt ABCD . Na boku CD tego prostokąta wybrano taki punkt E , że |EC | = 2|DE | , a na boku |AB | wybrano taki punkt F , że |BF | = |DE | . Niech P oznacza punkt przecięcia prostej EF z prostą BC (zobacz rysunek). Wykaż, że trójkąty AED i F PB są przystające.

PIC

Zadanie 30
(2 pkt)

Kąt α jest ostry i √ -- sin α + cos α = 2 . Oblicz wartość wyrażenia 1 tg α + tgα .

Zadanie 31
(2 pkt)

Rzucamy cztery razy symetryczną monetą. Po przeprowadzonym doświadczeniu zapisujemy liczbę uzyskanych orłów (od 0 do 4) i liczbę uzyskanych reszek (również od 0 do 4). Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że w tych czterech rzutach liczba uzyskanych orłów będzie większa niż liczba uzyskanych reszek.

Zadanie 32
(5 pkt)

Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny o wysokości H = 1 6 . Cosinus kąta nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy tego ostrosłupa jest równy 35 . Oblicz pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa.

Zadanie 33
(4 pkt)

W ciągu arytmetycznym (an) , określonym dla liczb naturalnych n ≥ 1 , wyraz szósty jest liczbą dwa razy większą od wyrazu piątego, a suma dziesięciu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa S = 15- 10 4 . Oblicz wyraz pierwszy oraz różnicę tego ciągu.

Zadanie 34
(4 pkt)

Punkty A = (− 1,1) i C = (1,9 ) są wierzchołkami trójkąta równoramiennego ABC , w którym |AC | = |BC | . Podstawa AB tego trójkąta zawiera się w prostej o równaniu 1 3 y = 2x + 2 . Oblicz współrzędne wierzchołka B tego trójkąta.

Rozwiąż on-line Arkusz Wersja PDF
Rozwiązania