/Szkoła średnia

Próbny Egzamin Maturalny
z Matematyki Zestaw przygotowany przez serwis www.zadania.info poziom rozszerzony
(technikum) 25 kwietnia 2015 Czas pracy: 180 minut

Zadanie 1
(4 pkt)

Wyznacz wszystkie wartości parametru m , dla których równanie ||1 √ -|| |7x-− 3| − m = 0 ma dwa pierwiastki, których iloczyn jest ujemny.

Zadanie 2
(4 pkt)

Długości boków prostokąta ABCD spełniają warunki: 2|AD | ≤ |CD | i |CD | = 3 . Na boku CD wybrano punkty E i F w ten sposób, że |DE | = |F C| = |AD | . Punkt G jest takim punktem odcinka AE , że |AG | : |GE | = 2 : 1 . Oblicz długość boku AD prostokąta, dla której pole trójkąta FGB jest największe.

Zadanie 3
(4 pkt)

Wielomian 4 3 2 W (x) = x + 2x − 5x + px + q jest podzielny przez dwumian (x− 2) , a przy dzieleniu przez (x+ 1) daje resztę − 10 . Wyznacz p i q .

Zadanie 4
(5 pkt)

Rozwiąż nierówność

x4 − 3x3 − 6x2 + 28x − 24 ≤ 0.

Zadanie 5
(4 pkt)

W półkole o promieniu r wpisano trapez równoramienny. Przekątna trapezu o długości k tworzy z dłuższą podstawą kąt o mierze α , a krótsza podstawa trapezu ma długość a . Uzasadnij, że cosα = a+2r 2k .

PIC

Zadanie 6
(4 pkt)

Wyznacz wszystkie wartości parametru k , dla których równanie 2 5x − kx + 1 = 0 ma dwa różne pierwiastki, których różnica jest liczbą z przedziału (0,1) .

Zadanie 7
(4 pkt)

Uzasadnij, że jeżeli liczby niezerowe a,b,c spełniają warunek a3 + b3 = 2c3 to

-----1------+ -----1------= -----2------. a2 + ac + c2 c2 + cb + b2 a2 + ab+ b2

Zadanie 8
(5 pkt)

Okrąg wpisany w trójkąt ABC ma równanie 2 2 x − 8x + y + 2y = 3 . Oblicz tg ∡BAC jeżeli A = (− 4,− 7) .

Zadanie 9
(5 pkt)

Ze zbioru liczb {1 ,2,3,4,5,6,7,8,9,10 ,11,12,13} losujemy bez zwracania 4 liczby. Oblicz jakie jest prawdopodobieństwo, że wśród 4 otrzymanych liczb jest dokładnie jedna para liczb o sumie równej 14.

Zadanie 10
(6 pkt)

W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym krawędź boczna ma długość √ -- 3 6 , a krawędź podstawy ma długość 12. Oblicz miarę kąta utworzonego przez dwie sąsiednie ściany boczne.

Zadanie 11
(5 pkt)

Liczbę 255 przedstaw jako sumę czterech całkowitych składników będących kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego tak, aby trzeci wyraz był o 45 większy od wyrazu pierwszego.

Arkusz Wersja PDF
Rozwiązania