/Szkoła średnia

Lubelska próba przed maturą
z matematyki (dla klas drugich)
poziom rozszerzony 23 maja 2018 Czas pracy: 180 minut

Zadania zamknięte

Zadanie 1

(1 pkt)

Jeżeli loga x = 2 i lo g x = 3 b , to liczba log x ab jest równa
A) 6 B) 1 6 C) 6 5 D)

Zadanie 2

(1 pkt)

Liczba ∘ -----√--- ∘ -----√--- 7− 4 3+ 7 + 4 3 jest równa
A) 16 B) √ 1-4 C) 4 D) √ -- 8 3

Zadanie 3

(1 pkt)

Granica ciągu (3n+ 7 3n−4) nl→im+ ∞ 8n+-4 + 6n+5- jest równa
A) -6 14 B) 3 8 C) 1 2 D)

Zadanie 4

(1 pkt)

Jeżeli 3 sin α = − 5 i ( 3π ) α ∈ π,-2- , to
A) sin α + cos α = 7 5 B) -1-= 4 tgα 3 C) 3 tg α = − 4 D) 1 sin α− cosα = − 5

Zadanie 5

(1 pkt)

Ile rozwiązań ma równanie ||2x + 5|− 4| = 3 ?
A) 0 B) 1 C) 2 D) 4

Zadania otwarte

Zadanie 6

(2 pkt)

Wiedząc, że tg α + -1- = 3 tgα , oblicz ∘ -------(----)2- tg2α + -1- tg α .

Zadanie 7

(2 pkt)

Wykaż, że dla dowolnych dodatnich liczb x ,y,z spełniona jest nierówność

( ) 1- 1- 1- (x + y + z) x + y + z ≥ 9

Zadanie 8

(3 pkt)

Wykaż, że jeżeli każda przekątna czworokąta wypukłego dzieli go na trójkąty o równych polach to czworokąt ten jest równoległobokiem.

Zadanie 9

(3 pkt)

Oblicz sumę miar kątów utworzonych przez przekątne pięciokąta wypukłego.

Zadanie 10

(4 pkt)

Dla jakiej wartości parametru funkcje 2 f(x) = x + mx + 1 i 2 g(x) = x + x + m mają wspólne miejsce zerowe?

Zadanie 11

(3 pkt)

Wykaż, że równanie 4 3 2 x + x + x − 3 = 0 ma tylko jedno rozwiązanie które jest liczbą wymierną.

Zadanie 12

(5 pkt)

Wyznacz wszystkie pary (x,y ) , gdzie i są liczbami całkowitymi spełniającymi równanie

1 1 1 1 --+ --+ ---= -. x y xy 2

Zadanie 13

(6 pkt)

Wyznacz wszystkie wartości parametru , dla których równanie 2 (2+ m)x + 2 (1− m)x + m + 2 = 0 ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste i kwadrat sumy odwrotności tych pierwiastków nie jest mniejszy od 0,5.

Zadanie 14

(5 pkt)

Cztery liczby tworzą ciąg geometryczny. Jeżeli od pierwszej z nich odejmiemy 2, od drugiej 3, od trzeciej 9, a od czwartej 25, to otrzymane różnice utworzą ciąg arytmetyczny. Znajdź te liczby.

Zadanie 15

(6 pkt)

W trójkącie ABC boki i są równe. Okrąg, którego średnicą jest wysokość trójkąta przecina boki trójkąta w punktach dzielących te boki w stosunku 5:3 licząc od wierzchołka . Oblicz pole trójkąta ABC , jeżeli |CD | = 10 .