/Szkoła średnia

Próbny Egzamin Maturalny
z Matematyki Zestaw przygotowany przez serwis www.zadania.info poziom rozszerzony
(technikum) 11 kwietnia 2015 Czas pracy: 180 minut

Zadanie 1
(5 pkt)

Dane są punkty A = (− 1,− 2) i B = (4,8) . Wyznacz te punkty prostej AB , dla których różnica odległości od punktu A i odległości od punktu B jest większa niż odległość od punktu (0,0) .

Zadanie 2
(5 pkt)

Ciąg (an) jest określony wzorem 2n− 1 an = 4 , gdzie n ≥ 1 . Wyznacz wszystkie wartości k , dla których iloczyn k początkowych wyrazów ciągu (an ) jest równy 0 ,0625− 578 .

Zadanie 3
(4 pkt)

Na okręgu o środku S wybrano punkty A ,B,C i D w ten sposób, że prosta AB zawiera punkt S , a proste AD i BC przecinają się w punkcie E . Punkt M jest punktem wspólnym prostych AC i BD . Wykaż, że proste EM i AB są prostopadłe.

PIC

Zadanie 4
(4 pkt)

Dane są dwa nieskończone ciągi (xn) i (yn) takie, że dla każdego n ≥ 1 , punkt o współrzędnych (yn + n ,xn) jest środkiem ciężkości trójkąta o wierzchołkach A = (xn ,yn),B = (− 2,1 ),C = (4,− 3) . Wyznacz wzory ciągów (xn) i (yn ) .

Zadanie 5
(4 pkt)

Wykaż, że jeżeli a,b ∈ (0,1 ) to prawdziwa jest nierówność

4log a+ lo g b ≥ 4 . b a

Zadanie 6
(5 pkt)

Wyznacz wszystkie wartości parametru m , dla których równanie (m + 1)x2 − 3mx + m + 1 = 0 ma dwa różne pierwiastki takie, że ich suma jest nie większa niż 2,5.

Zadanie 7
(5 pkt)

Wyznacz wszystkie wartości parametru m , dla których równanie

2 2 (x + 3mx + 1)(x + 2x + m) = 0

ma cztery różne pierwiastki, których suma sześcianów jest równa 4.

Zadanie 8
(4 pkt)

Okrąg wpisany w trójkąt prostokątny ABC o bokach długości |AB | = 8,|BC | = 6,|AC | = 1 0 jest styczny do boków AC i BC w punktach D i E . Proste DE i AB przecinają się punkcie F . Oblicz pole trójkąta EBF .

Zadanie 9
(5 pkt)

Rozwiąż równanie 2 cosx cos 2x+ 3sin 2x = 4 cosx .

Zadanie 10
(5 pkt)

Suma długości krawędzi graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa 16. Dla jakiej długości krawędzi podstawy pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa będzie największe?

Zadanie 11
(4 pkt)

Ze zbioru {1 ,2,3,4,5,6,7,8,9,10 ,11,12} losujemy podzbiór trójelementowy. Jakie jest prawdopodobieństwo, że iloczyn liczb będących elementami wylosowanego podzbioru jest liczbą parzystą?

Arkusz Wersja PDF
Rozwiązania