/Szkoła średnia

Egzamin Maturalny
z Matematyki poziom rozszerzony 11 maja 2022 Czas pracy: 180 minut

Zadania zamknięte

Zadanie 1
(1 pkt)

Liczba √ --- √ -- log 27 − log 3 3 27 jest równa
A) 4 3 B) 1 2 C) 11 12 D) 3

Zadanie 2
(1 pkt)

Funkcja f jest określona wzorem 3 f(x ) = xx−−82 dla każdej liczby rzeczywistej x ⁄= 2 . Wartość pochodnej tej funkcji dla argumentu x = 1 2 jest równa
A) 3 4 B) 9 4 C) 3 D) 548

Zadanie 3
(1 pkt)

Jeżeli 1 cos β = − 3 i β ∈ (π, 3 π) 2 , to wartość wyrażenia ( ) sin β − 1π 3 jest równa
A) √- √- −-2-2+--3 6 B) √- 2-6+1- 6 C) 2√-2+√-3 6 D) 1−-2√6- 6

Zadanie 4
(1 pkt)

Dane są dwie urny z kulami. W każdej z urn jest siedem kul. W pierwszej urnie są jedna kula biała i sześć kul czarnych, w drugiej urnie są cztery kule białe i trzy kule czarne. Rzucamy jeden raz symetryczną monetą. Jeżeli wypadnie reszka, to losujemy jedną kulę z pierwszej urny, w przeciwnym przypadku – jedną kulę z drugiej urny. Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wylosujemy kulę białą w tym doświadczeniu, jest równe
A) -5 14 B) 9- 14 C) 5 7 D) 6 7

Zadania otwarte

Zadanie 5
(2 pkt)

Ciąg (an) jest określony dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1 wzorem

(7p-−-1)n3-+-5pn-−--3- an = (p + 1)n 3 + n 2 + p ,

gdzie p jest liczbą rzeczywistą dodatnią. Oblicz wartość p , dla której granica ciągu (an ) jest równa 4 3 .

Zadanie 6
(3 pkt)

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej x i dla każdej liczby rzeczywistej y takich, że 2x > y , spełniona jest nierówność

7x3 + 4x2y ≥ y 3 + 2xy 2 − x3.

Zadanie 7
(3 pkt)

Rozwiąż równanie |x − 3| = 2x + 11 .

Zadanie 8
(3 pkt)

Punkt P jest punktem przecięcia przekątnych trapezu ABCD . Długość podstawy CD jest o 2 mniejsza od długości podstawy AB . Promień okręgu opisanego na trójkącie ostrokątnym CP D jest o 3 mniejszy od promienia okręgu opisanego na trójkącie AP B . Wykaż, że spełniony jest warunek √ - |DP |2 + |CP |2 − |CD |2 = 4-32⋅|DP |⋅|CP | .

Zadanie 9
(4 pkt)

Reszta z dzielenia wielomianu W (x) = 4x3 − 6x2 − (5m + 1)x− 2m przez dwumian x + 2 jest równa (− 30) . Oblicz m i dla wyznaczonej wartości m rozwiąż nierówność W (x) ≥ 0 .

Zadanie 10
(4 pkt)

Ciąg (an) , określony dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1 , jest geometryczny i ma wszystkie wyrazy dodatnie. Ponadto a = 675 1 i a = 5a + 1a 22 4 23 5 21 . Ciąg (b ) n , określony dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1 , jest arytmetyczny. Suma wszystkich wyrazów ciągu (an) jest równa sumie dwudziestu pięciu początkowych kolejnych wyrazów ciągu (bn) . Ponadto a3 = b4 . Oblicz b1 .

Zadanie 11
(4 pkt)

Rozwiąż równanie sin x + sin2x + sin 3x = 0 w przedziale ⟨0,π ⟩ .

Zadanie 12
(5 pkt)

Wyznacz wszystkie wartości parametru m , dla których równanie

x 2 − (m + 1)x + m = 0

ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste x 1 oraz x 2 , spełniające warunki:

x 1 ⁄= 0, x2 ⁄= 0 oraz -1-+ 1--+ 2 = 1-+ -1- x 1 x2 x21 x22

Zadanie 13
(5 pkt)

Dany jest graniastosłup prosty ABCDEF GH o podstawie prostokątnej ABCD . Przekątne AH i AF ścian bocznych tworzą kąt ostry o mierze α takiej, że sin α = 1213- (zobacz rysunek). Pole trójkąta AF H jest równe 26,4. Oblicz wysokość h tego graniastosłupa.

ZINFO-FIGURE

Zadanie 14
(6 pkt)

Punkt A = (− 3,2 ) jest wierzchołkiem trójkąta równoramiennego ABC , w którym |AC | = |BC | . Pole tego trójkąta jest równe 15. Bok BC zawarty jest w prostej o równaniu y = x− 1 . Oblicz współrzędne wierzchołków B i C tego trójkąta.

Zadanie 15
(7 pkt)

Rozpatrujemy wszystkie trójkąty równoramienne o obwodzie równym 18.

  • Wykaż, że pole P każdego z tych trójkątów, jako funkcja długości b ramienia, wyraża się wzorem ------ (18−-2b)⋅√18b−81- P (b) = 2 .

  • Wyznacz dziedzinę funkcji P .

  • Oblicz długości boków tego z rozpatrywanych trójkątów, który ma największe pole.

Arkusz Wersja PDF
Rozwiązania