Zadanie nr 6580563
Dla jakich wartości parametru miejsca zerowe funkcji należą do przedziału ?
Rozwiązanie
Na początek sprawdźmy, kiedy podana funkcja ma miejsca zerowe.
Rozwiązujemy tę nierówność kwadratową
Dalszą część rozwiązania przeprowadzimy na dwa sposoby.
Sposób I
Ponieważ wykresem funkcji jest parabola o ramionach skierowanych w górę, to podany warunek jest równoważny temu, że wierzchołek paraboli jest zawarty w podanym przedziale oraz wartości funkcji na końcach przedziału są dodatnie (patrz rysunek).
Mamy zatem układ nierówności
Mamy stąd . W połączeniu z wcześniej wyliczonym warunkiem na -ę, mamy więc
Sposób II
Sprawdziliśmy już, kiedy funkcja ma miejsca zerowe, sprawdźmy teraz kiedy są one w przedziale .
Zacznijmy od przypadku , czyli lub . Mamy wtedy odpowiednio funkcje
Tylko druga z tych funkcji spełnia warunki zadania.
Jeżeli natomiast to równanie ma dwa pierwiastki , które muszą spełniać warunki
Jeżeli prawa strona którejkolwiek z powyższych nierówności jest ujemna, to otrzymujemy nierówność sprzeczną, więc musimy założyć, że . Przy tym założeniu możemy podnieść każdą z nierówności do kwadratu.
Mamy stąd . W połączeniu z wcześniej wyliczonym warunkiem na -ę, mamy więc
Odpowiedź: