/Szkoła średnia

Próbny Egzamin Maturalny
z Matematyki Zestaw przygotowany przez serwis www.zadania.info poziom rozszerzony 30 kwietnia 2016 Czas pracy: 180 minut

Zadania zamknięte

Zadanie 1
(1 pkt)

Dany jest nieskończony ciąg geometryczny (an) określony wzorem an = -√4-n ( 3) dla n = 1,2,3,... . Suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa
A) √-4-- 3−1 B) √- √-3-- 3−1 C) --2-- √ 3−1 D) --1-- √ 3−1

Zadanie 2
(1 pkt)

Funkcja f (x) = − 4x3 + ax + 3x − 2 jest funkcją malejąca jeżeli
A) a ≥ − 3 B) a ≤ − 3 C) a ∈ ⟨− 3,3⟩ D) a ∈ ⟨−4 ,−3 ⟩

Zadanie 3
(1 pkt)

Wskaż wartość parametru m , dla którego prosta y+ 2x+ m = 0 jest styczna do okręgu o równaniu 2 2 (x− 1) + (y+ 3) = 5
A) m = 6 B) √ -- m = 5 5− 1 C) m = − 6 D) m = 4

Zadanie 4
(1 pkt)

Wielomian W (x) = x5 + 2x3 − ax jest podzielny przez wielomian x 2 + 1 . Wynika stąd, że
A) a = − 3 B) a = − 1 C) a = 1 D) a = 3

Zadanie 5
(1 pkt)

Niech A i B będą takim zdarzeniami losowymi, że P(B ) = 0,5 i P (B ∖A ) = 0 ,2 . Wtedy prawdopodobieństwo P (A|B ) jest równe
A) 0,3 B) 0,6 C) 0,5 D) 0,18

Zadania otwarte

Zadanie 6
(2 pkt)

Funkcja f jest określona wzorem f(x ) = lo g2x dla każdej liczby rzeczywistej x . Oblicz pochodną funkcji f w punkcie √ -- x = 2

Zadanie 7
(2 pkt)

Oblicz granicę √ -------- lim ( n 2 + 5n − n) n→+ ∞ .

Zadanie 8
(3 pkt)

Dana jest parabola o równaniu 2 y = 2x + 3 i leżący na niej punkt A o współrzędnej x równej − 1 . Wyznacz równanie stycznej do tej paraboli w punkcie A .

Zadanie 9
(3 pkt)

Długości boków trójkąta ABC są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego o ilorazie q . Wykaż, że miary kątów trójkąta zbudowanego z odcinków o długościach równych długościom wysokości trójkąta ABC są równe miarom kątów trójkąta ABC .

Zadanie 10
(4 pkt)

Wierzchołki A i B kwadratu ABCD leżą na paraboli y = x2 − 6x + 1 9 , przy czym odcinek AB jest równoległy do osi Ox . Wykaż, że jeżeli odległość punktu A od osi Ox jest liczbą całkowitą to pole kwadratu ABCD również jest liczbą całkowitą.

Zadanie 11
(4 pkt)

Wyznacz dziedzinę funkcji ( ) f(x) = log 3−x x2−x-−2- 3 2+x x− 2

Zadanie 12
(4 pkt)

Przez środek okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny ABC poprowadzono prostą równoległą do boku BC i przecinającą bok AB w punkcie D . Oblicz iloraz |DC| |DB| .

Zadanie 13
(5 pkt)

Rozwiąż równanie √ -- 3 sin2x = 2 3sin xco sx + 3 cos2x w przedziale ⟨0,π ⟩ .

Zadanie 14
(5 pkt)

Wykres funkcji homograficznej f (x) = -ax+3- x+b +1 można otrzymać przesuwając wykres funkcji 7 g (x ) = x , a dziedzina funkcji f (x) jest tym samym zbiorem co jej zbiór wartości. Wyznacz współczynniki a i b .

Zadanie 15
(6 pkt)

W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym krawędź boczna ma długość √ -- 3 6 , a krawędź podstawy ma długość 12. Oblicz miarę kąta utworzonego przez dwie sąsiednie ściany boczne.

Zadanie 16
(7 pkt)

Suma długości wszystkich krawędzi prostopadłościanu jest równa 4M , a jedna z jego ścian na pole powierzchni trzy razy większe od innej ściany tego prostopadłościanu. Oblicz jaka jest powierzchnia całkowita tego prostopadłościanu, jeżeli jego objętość jest największa możliwa.

Arkusz Wersja PDF
Rozwiązania