/Szkoła średnia

Lubelska próba przed maturą
z matematyki poziom rozszerzony 14 marca 2018 Czas pracy: 180 minut

Zadania zamknięte

Zadanie 1
(1 pkt)

Wzór funkcji liniowej, której wykresem jest prosta nachylona do osi Ox pod kątem o mierze 1 20∘ i przechodzi przez punkt P = (− 4,2) jest postaci
A) √ -- √ -- y = − 3x + 2− 4 3 B) √ -- √ -- y = − 3x+ 2+ 4 3
C) √ -- √ -- y = − 3x − 2 − 4 3 D) √ -- √ -- y = 3x + 2− 4 3

Zadanie 2
(1 pkt)

Do okręgu należą punkty A = (2,1) , B = (5 ,0 ) , C = (4,− 3) . Jest to okrąg o środku S i promieniu r :
A) S = (2,− 2) , √ -- r = 2 B) S = (3,− 1) , r = √ 5-
C) S = (3 ,0) , r = 1 D) S = (2,− 2) , r = 3

Zadanie 3
(1 pkt)

Funkcja { a2x − a gdy x ∈ (− ∞ ,5) f (x) = 10ax − 46 gdy x ∈ ⟨5,+ ∞ ) jest ciągła w zbiorze liczb rzeczywistych jeżeli a jest równe
A) 1 lub 1 95 B) 5 lub 1 3 9 C) 5 lub − 3 1 9 D) 1 lub 5

Zadanie 4
(1 pkt)

Ile różnych wyrazów z sensem lub bez sensu można ułożyć z liter wyrazu: MATEMATYKA?
A) 10! B) 30240 C) 151200 D) 3 !2!2!

Zadanie 5
(1 pkt)

Rozwiązaniem nierówności ||x − 1| − 3| ≥ 4 jest
A) x ∈ (− ∞ ,− 6⟩ ∪ ⟨8,+ ∞ ) B) x ∈ (− ∞ ,− 8) ∪ (6,+ ∞ ) C) x ∈ R D) x ∈ ⟨− 6,8⟩

Zadania otwarte

Zadanie 6
(2 pkt)

Wyznacz zbiór argumentów, dla których funkcja f określona wzorem f(x) = log x2 + log x+ log 1x 3 3 3 przyjmuje wartości z przedziału ⟨6,10⟩ .

Zadanie 7
(5 pkt)

W rombie ABCD , którego pole jest równe 10 dane są przeciwległe wierzchołki A (0,4) i C(4,2) . Wyznacz współrzędne pozostałych wierzchołków rombu.

Zadanie 8
(5 pkt)

Wiadomo, że liczby 32a + 3 , a 3+3-1 , 8⋅43a+-3 są odpowiednio pierwszym, drugim i trzecim wyrazem nieskończonego ciągu geometrycznego. Wyznacz a . Dla wyznaczonej wartości a zapisz wzór tego ciągu i oblicz sumę jego wszystkich wyrazów.

Zadanie 9
(2 pkt)

Wykaż, że jeśli a + b + c = 0 , to a3+b3+c3 3 = abc .

Zadanie 10
(4 pkt)

Wyznacz wszystkie wartości parametru m , dla których równanie sin 2x + m co sx = 0 ma w przedziale ⟨0 ,π⟩ trzy rozwiązania.

Zadanie 11
(2 pkt)

Dany jest trójkąt prostokątny równoramienny ABC . Punkty D i E dzielą przeciwprostokątną AB na trzy odcinki równej długości. Oblicz cosinus kąta DCE .

Zadanie 12
(3 pkt)

Dana jest parabola o równaniu 1 y = 4x 2 i punkt F (0 ,1) . Wykaż, że każdy punkt leżący na paraboli jest równo oddalony od punktu F i prostej l o równaniu y = − 1 .

Zadanie 13
(5 pkt)

Wyznacz miejsca zerowe funkcji f(x) = log 2(−x 3 − 4x2 + 3x + 18) − log2(− 2x2 − 2x + 1 2) .

Zadanie 14
(6 pkt)

Punkt P = (1;7) należy do wykresu funkcji f (x) = x2+ax+-5 x+b , gdzie b ⁄= − 1 . Styczna do wykresu danej funkcji, poprowadzona w punkcie P , jest prostopadła do prostej o równaniu 2x + 3y = 0 . Oblicz współczynniki a i b oraz napisz równanie tej stycznej.

Zadanie 15
(4 pkt)

Ze zbioru {0 ,1,2,3,4,...,2n} gdzie n ∈ N wylosowano jednocześnie 3 liczby. Prawdopodobieństwo, że suma wylosowanych liczb jest nieparzysta wynosi 4835 . Wyznacz ile liczb było w zbiorze.

Zadanie 16
(7 pkt)

Przekrojem osiowym stożka jest trójkąt o obwodzie 40. Podaj promień podstawy i wysokość stożka o największej objętości. Oblicz jego objętość.

Arkusz Wersja PDF
Rozwiązania