/Szkoła średnia

Próbny Egzamin Maturalny
z Matematyki Zestaw przygotowany przez serwis www.zadania.info poziom rozszerzony 2 kwietnia 2016 Czas pracy: 180 minut

Zadania zamknięte

Zadanie 1
(1 pkt)

Granica 3 lim log--|x+-2|+3- x→− 2 1,2
A) jest równa 0 B) jest równa + ∞ C) jest równa − ∞ D) nie istnieje

Zadanie 2
(1 pkt)

Wyrażenie (n+-2)!⋅(n−2)! n!⋅n! dla liczby naturalnej n ≥ 2 jest równe
A) n2 − 4 B) (n 2 − 4)(n2 − 1) C) n2+-3n+-2 n2−n D) n+2- n

Zadanie 3
(1 pkt)

Która z poniższych funkcji, określonych w zbiorze liczb rzeczywistych, nie ma minimum lokalnego ani maksimum lokalnego?
A) 13x 3 + 3x 2 B) f(x) = 5x− 2x2 C) f(x ) = (1− 3x)2 D) f (x) = 3x 3 + 2x

Zadanie 4
(1 pkt)

Równanie |x| cos2x + x--= 0 w zbiorze ⟨− π,0) ∪ (0,π ⟩
A) nie ma rozwiązań rzeczywistych.
B) ma dokładnie jedno rozwiązanie rzeczywiste.
C) ma dokładnie dwa rozwiązania rzeczywiste.
D) ma więcej niż dwa rozwiązania rzeczywiste.

Zadanie 5
(1 pkt)

Liczba pierwiastków całkowitych wielomianu W (x) = 3x5 + 3x4 − 6x3 − x2 − x + 2 jest równa
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4

Zadania otwarte

Zadanie 6
(2 pkt)

Wyznacz wszystkie wartości x , dla których trzy liczby: tg x , cos x , 2 sin x , tworzą ciąg geometryczny (w podanej kolejności).

Zadanie 7
(2 pkt)

Niech a = lo g183 . Wykaż, że 4a lo g681 = 1−a- .

Zadanie 8
(2 pkt)

Wykaż, że jeżeli w trójkącie dwusieczna pokrywa się ze środkową, to trójkąt ten jest równoramienny.

Zadanie 9
(2 pkt)

Rozwiąż nierówność |5−x − 1| < 4 .

Zadanie 10
(3 pkt)

Wielomian W (x) stopnia 3 jest podzielny przez trójmian kwadratowy 2 P(x) = x − x − 7 2 . Wiadomo ponadto, że 26W (10)+ 21W (7) = 0 . Wyznacz miejsca zerowe wielomianu W (x) .

Zadanie 11
(3 pkt)

Ciąg (an) jest określony dla n ≥ 1 i spełnia warunek

3an +3 − an+1 = an − 3an +2 dla n ≥ 1.

Oblicz sumę dwóch początkowych wyrazów ciągu (an) jeżeli suma wszystkich jego wyrazów jest równa 2016.

Zadanie 12
(3 pkt)

Funkcja f określona jest wzorem f(x) = 4x 3 − x 4 − 1 2x2 + 3x + 2 dla x ∈ R . Wykaż, że

√ -- -- -- √ -- f′( 34 + √33) < f ′(√33 + 32).

Zadanie 13
(4 pkt)

Dany jest czworokąt wypukły ABCD niebędący równoległobokiem. Punkty M ,N są odpowiednio środkami boków AB i CD . Punkty P ,Q są odpowiednio środkami przekątnych AC i BD . Uzasadnij, że jeżeli odcinki MN i P Q są prostopadłe, to |AD | = |BC | .

Zadanie 14
(5 pkt)

Z talii 52 kart w czterech kolorach wybieramy losowo 2 karty. Oblicz prawdopodobieństwo, że wybrane karty to król i as, przy założeniu, że wybrane karty mają różne kolory.

Zadanie 15
(6 pkt)

Punkty P = (− 3,4) , Q = (2 ,1) i R = (− 1,− 1) są środkami boków równoległoboku. Wyznacz współrzędne wierzchołków tego równoległoboku.

Zadanie 16
(6 pkt)

Pierwiastki wielomianu W (x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d tworzą czterowyrazowy ciąg arytmetyczny o sumie wyrazów równej zero. Wiadomo ponadto, że √ -- 23- W ( 3) = − 9 . Oblicz współczynniki a, b, c i d . Rozważ wszystkie możliwe przypadki.

Zadanie 17
(7 pkt)

Rozpatrujemy wszystkie stożki, w których suma sześcianów długości promienia podstawy i wysokości jest równa 12. Wyznacz ten spośród rozpatrywanych stożków, którego objętość jest największa. Oblicz tę objętość.

Arkusz Wersja PDF
Rozwiązania