/Szkoła średnia

Próbny Egzamin Maturalny
z Matematyki Zestaw przygotowany przez serwis www.zadania.info poziom rozszerzony 27 kwietnia 2019 Czas pracy: 180 minut

Zadania zamknięte

Zadanie 1
(1 pkt)

Liczba ( ) ( ) √3-- 3 3√ -- 3√ -- 3 2 + 1 ⋅ 4− 2+ 1 jest równa
A) 1 B) 8 C) 27 D) 64

Zadanie 2
(1 pkt)

Równanie ||x|− 4 | = |x| + 2
A) nie ma rozwiązań. B) ma dokładnie jedno rozwiązanie.
C) ma dokładnie dwa rozwiązania. D) ma dokładnie cztery rozwiązania.

Zadanie 3
(1 pkt)

Wyrażenie 2 sin 4x sin x jest równe
A) cos3x − sin 5x B) cos3x − co s5x C) sin 3x − sin5x D) sin 3x − cos 5x

Zadanie 4
(1 pkt)

Na rysunku zaznaczono zbiór punktów płaszczyzny spełniających układ nierówności:

PIC

A) { 2x + y+ 1 ≤ 0 x + 2y − 2 ≤ 0 B) { 2x + y + 1 ≤ 0 x+ 2y − 2 ≥ 0
C) { 2x + y + 1 ≥ 0 x + 2y − 2 ≥ 0 D) { 2x + y + 1 ≥ 0 x + 2y − 2 ≤ 0

Zadanie 5
(1 pkt)

Granica √ --------- lim √-5−-3x3+-8x2 x→− ∞ 1− 12x3+ 4x
A) nie istnieje. B) jest liczbą dodatnią.
C) jest liczbą ujemną. D) jest równa + ∞ .

Zadania otwarte

Zadanie 6
(2 pkt)

Punkt M przyprostokątnej BC trójkąta prostokątnego ABC zrzutowano na przeciwprostokątną AB otrzymując punkt N . Wykaż, że |∡MAN | = |∡MCN | .

Zadanie 7
(3 pkt)

Dany jest nieskończony ciąg okręgów (on) o równaniach 2 2 7−n x + y = 3 , n ≥ 1 . Niech Pk będzie pierścieniem ograniczonym zewnętrznym okręgiem o2k− 1 i wewnętrznym okręgiem o2k . Oblicz sumę pól wszystkich pierścieni Pk , gdzie k ≥ 1 .

Zadanie 8
(3 pkt)

Udowodnij, że jeżeli α + β + γ = π , to

cos2α + co s2β + cos2 γ + 2 cosα cosβ cos γ = 1 .

Zadanie 9
(3 pkt)

Rozpatrujemy wszystkie liczby naturalne dziewięciocyfrowe, w zapisie których mogą występować wyłącznie cyfry 0, 1, 2 przy czym każda z cyfr występuje dokładnie trzy razy. Ile jest takich liczb?

Zadanie 10
(3 pkt)

Liczby p i q są pierwiastkami równania x2 − 47x + 1 = 0 . Wykaż, że wartość wyrażenia √4p--+ √4q -- jest liczbą naturalną.

Zadanie 11
(3 pkt)

W pudełku znajdują się klocki o różnych kształtach i kolorach. Wiadomo, że prawdopodobieństwo wylosowania klocka, który ma kształt walca lub ma kolor czerwony jest równe 0,6. Prawdopodobieństwo, że losowo wybrany klocek czerwony jest walcem jest równe 0,25. Wiadomo też, że klocki czerwone stanowią 40% wszystkich klocków. Jakie jest prawdopodobieństwo, że losowo wybrany klocek w kształcie walca jest czerwony?

Zadanie 12
(3 pkt)

W trójkącie ABC długości boków AB i AC są odpowiednio równe 4 i 6. Punkt M jest środkiem odcinka BC , a długość środkowej AN trójkąta AMB jest równa 3. Oblicz długość boku BC .

Zadanie 13
(4 pkt)

Dany jest malejący ciąg geometryczny (a,aq,aq 2) , którego wszystkie wyrazy i iloraz są liczbami całkowitymi niepodzielnymi przez 3. Jeśli najmniejszy wyraz ciągu zwiększymy o 18, to otrzymamy ciąg arytmetyczny. Oblicz wyraz aq tego ciągu.

Zadanie 14
(4 pkt)

Przedstawiona na rysunku bryła to stożek ścięty płaszczyzną równoległą do jego płaszczyzny podstawy. Wysokość tej bryły jest równa H , a r i R (r < R ) są promieniami podstaw. Oblicz objętość tej bryły.

PIC

Zadanie 15
(5 pkt)

Funkcja f jest wielomianem stopnia 3, a jej wykres jest styczny do prostej 9 y = 2 w punkcie o odciętej x = 2 oraz jest styczny do prostej y = − 92 w punkcie o odciętej x = − 1 . Wyznacz wzór funkcji f .

Zadanie 16
(5 pkt)

Z punktu ( ) A = − 92, 92 poprowadzono styczne do okręgu (x + 2)2 + (y + 3)2 = 50 . Oblicz pole trójkąta ABC , gdzie BC jest odcinkiem łączącym punkty styczności.

Zadanie 17
(7 pkt)

Rozpatrujemy wszystkie graniastosłupy prawidłowe czworokątne o polu powierzchni całkowitej P . Wyznacz wysokość i długość krawędzi podstawy tego graniastosłupa, którego objętość jest największa. Oblicz tę największą objętość.

Arkusz Wersja PDF
Rozwiązania