/Szkoła średnia

Zadanie nr 6804484

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Dla jakich wartości k ∈ R równanie 2 (k− 2)x − 2(k + 2)x + k + 5 = 0 ma dwa różne pierwiastki dodatnie?

Rozwiązanie

Jeżeli równanie ma mieć dwa pierwiastki to musi być kwadratowe, czyli k ⁄= 2 . Ponadto delta musi być dodatnia.

2 0 < Δ = 4(k + 2) − 4(k − 2)(k + 5) = = 4 (k2 + 4k + 4 − k2 − 3k + 10) = 4(k+ 14) k > − 14 .

Pierwiastki x1,x2 będą dodatnie jeżeli x1 + x2 > 0 i x1x 2 > 0 . Na mocy wzorów Viète’a otrzymujemy nierówności.

{ 0 < x1 + x2 = 2(k+2) ⇐ ⇒ k ∈ (− ∞ ,− 2)∪ (2 ,+∞ ) k+-5k− 2 0 < x1x2 = k− 2 ⇐ ⇒ k ∈ (− ∞ ,− 5)∪ (2,+ ∞ ).

Uwzględniając warunek z Δ -ą otrzymujemy

k ∈ (− 14 ,− 5 )∪ (2,+ ∞ ).

 
Odpowiedź: k ∈ (− 14,− 5) ∪ (2,+ ∞ )

Wersja PDF