/Szkoła średnia

Egzamin Maturalny
z Matematyki poziom rozszerzony 9 maja 2018 Czas pracy: 180 minut

Zadania zamknięte

Zadanie 1
(1 pkt)

Dane są liczby 4√8 a = -2- , b = -1√-- 248 , √ -- c = 48 , d = √2- 48 oraz k = 2− 14 . Prawdziwa jest równość
A) k = a B) k = b C) k = c D) k = d

Zadanie 2
(1 pkt)

Równanie ||x|− 2 | = |x| + 2
A) nie ma rozwiązań.
B) ma dokładnie jedno rozwiązanie.
C) ma dokładnie dwa rozwiązania.
D) ma dokładnie cztery rozwiązania.

Zadanie 3
(1 pkt)

Wartość wyrażenia 1 2 lo g510 − log205 jest równa
A) − 1 B) 0 C) 1 D) 2

Zadanie 4
(1 pkt)

Granica lim -−2x-+2-- x→3− x −5x+6 jest równa
A) − ∞ B) − 1 C) 0 D) + ∞

Zadania otwarte

Zadanie 5
(2 pkt)

Punkt A = (− 5,3 ) jest środkiem symetrii wykresu funkcji homograficznej określonej wzorem f(x ) = axx++d7- , gdy x ⁄= −d . Oblicz iloraz d a .

Zadanie 6
(3 pkt)

Styczna do paraboli o równaniu √ -- y = 3x 2 − 1 w punkcie P = (x ,y ) 0 0 jest nachylona do osi Ox pod kątem ∘ 30 . Oblicz współrzędne punktu P .

Zadanie 7
(3 pkt)

Trójkąt ABC jest ostrokątny oraz |AC | > |BC | . Dwusieczna dC kąta ACB przecina bok AB w punkcie K . Punkt L jest obrazem punktu K w symetrii osiowej względem dwusiecznej dA kąta BAC , punkt M jest obrazem punktu L w symetrii osiowej względem dwusiecznej dC kąta ACB , a punkt N jest obrazem punktu M w symetrii osiowej względem dwusiecznej d B kąta ABC (zobacz rysunek).

PIC

Udowodnij, że na czworokącie KNML można opisać okrąg.

Zadanie 8
(3 pkt)

Udowodnij, że dla każdej liczby całkowitej k i dla każdej liczby całkowitej m liczba k3m − km 3 jest podzielna przez 6.

Zadanie 9
(4 pkt)

Z liczb ośmioelementowego zbioru Z = {1 ,2,3,4,5,6,7,9} tworzymy ośmiowyrazowy ciąg, którego wyrazy się nie powtarzają. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że żadne dwie liczby parzyste nie są sąsiednimi wyrazami utworzonego ciągu. Wynik przedstaw w postaci ułamka zwykłego nieskracalnego.

Zadanie 10
(4 pkt)

Objętość stożka ściętego (przedstawionego na rysunku) można obliczyć ze wzoru 1 V = 3 πH (r2 + rR + R 2) , gdzie r i R są promieniami podstaw (r < R ), a H jest wysokością bryły. Dany jest stożek ścięty, którego wysokość jest równa 10, objętość 84 0π , a r = 6 . Oblicz cosinus kąta nachylenia przekątnej przekroju osiowego tej bryły do jednej z jej podstaw.

PIC

Zadanie 11
(4 pkt)

Rozwiąż równanie sin 6x + cos 3x = 2 sin3x + 1 w przedziale ⟨0,π ⟩ .

Zadanie 12
(6 pkt)

Wyznacz wszystkie wartości parametru m , dla których równanie 2 2 x + (m + 1)x − m + 1 = 0 ma dwa rozwiązania rzeczywiste x1 i x2 (x1 ⁄= x 2) , spełniające warunek x 3+ x 3> − 7x1x2 1 2 .

Zadanie 13
(4 pkt)

Wyrazy ciągu geometrycznego (an) , określonego dla n ≥ 1 , spełniają układ równań

{ a3 + a6 = − 84 a + a = 168 4 7

Wyznacz liczbę n początkowych wyrazów tego ciągu, których suma Sn jest równa 32769.

Zadanie 14
(6 pkt)

Punkt A = (7 ,− 1 ) jest wierzchołkiem trójkąta równoramiennego ABC , w którym |AC | = |BC | . Obie współrzędne wierzchołka C są liczbami ujemnymi. Okrąg wpisany w trójkąt ABC ma równanie x2 + y2 = 10 . Oblicz współrzędne wierzchołków B i C tego trójkąta.

Zadanie 15
(7 pkt)

Rozpatrujemy wszystkie trapezy równoramienne, w które można wpisać okrąg, spełniające warunek: suma długości dłuższej podstawy a i wysokości trapezu jest równa 2.

  • Wyznacz wszystkie wartości a , dla których istnieje trapez o podanych własnościach.
  • Wykaż, że obwód L takiego trapezu, jako funkcja długości a dłuższej podstawy trapezu, wyraża się wzorem 2 L(a) = 4a-−8aa+8
  • Oblicz tangens kąta ostrego tego spośród rozpatrywanych trapezów, którego obwód jest najmniejszy.

Arkusz Wersja PDF
Rozwiązania