/Szkoła średnia
Egzamin Maturalny
z Matematyki poziom rozszerzony
(formuła 2015) 15 maja 2024 Czas pracy: 180 minut
Zadania zamknięte
Odległość punktu od prostej o równaniu jest równa
A) B) C) D)
Równanie w zbiorze liczb rzeczywistych
A) nie ma rozwiązań.
B) ma dokładnie jedno rozwiązanie.
C) ma dokładnie dwa rozwiązania.
D) ma dokładnie cztery rozwiązania.
Funkcja jest określona wzorem dla każdej liczby rzeczywistej . Zbiorem wartości funkcji jest przedział
A) B) C) D)
Granica
jest równa 3. Wtedy
A) B) C) D)
Zadania otwarte
Wielomian jest iloczynem wielomianów oraz . Oblicz wartości współczynników: oraz .
Wykaż, że jeżeli oraz , to .
Dany jest czworokąt wypukły . Przekątne oraz tego czworokąta przecinają się w punkcie . Wykaż, że jeżeli , to na czworokącie można opisać okrąg.
Rozważamy wszystkie liczby naturalne, w których zapisie dziesiętnym nie powtarza się jakakolwiek cyfra oraz dokładnie trzy cyfry są nieparzyste i dokładnie dwie cyfry są parzyste. Oblicz, ile jest wszystkich takich liczb.
Funkcja jest określona wzorem
dla każdej liczby rzeczywistej różnej od zera. W kartezjańskim układzie współrzędnych punkt , o pierwszej współrzędnej równej 2, należy do wykresu funkcji . Prosta o równaniu jest styczna do wykresu funkcji w punkcie . Oblicz współczynniki oraz w równaniu tej stycznej.
Spośród wszystkich liczb naturalnych sześciocyfrowych, których wszystkie cyfry należą do zbioru , losujemy jedną. Wylosowanie każdej z tych liczb jest jednakowo prawdopodobne. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wylosujemy liczbę, która ma następującą własność: kolejne cyfry tej liczby (licząc od lewej strony) tworzą – w podanej kolejności – sześciowyrazowy ciąg malejący.
Trzywyrazowy ciąg jest geometryczny i rosnący. Suma wyrazów tego ciągu jest równa 105. Liczby oraz są – odpowiednio – pierwszym, drugim oraz szóstym wyrazem ciągu arytmetycznego , określonego dla każdej liczby naturalnej . Oblicz oraz .
Rozwiąż równanie w przedziale .
Promień okręgu opisanego na trójkącie jest równy 17. Najdłuższym bokiem tego trójkąta jest bok , a długości dwóch pozostałych boków są równe oraz . Oblicz miarę kąta oraz długość boku tego trójkąta.
W kartezjańskim układzie współrzędnych środek okręgu o promieniu leży na prostej o równaniu . Przez punkt , którego odległość od punktu jest większa od , poprowadzono dwie proste styczne do tego okręgu w punktach – odpowiednio – i . Pole czworokąta jest równe 15. Oblicz współrzędne punktu . Rozważ wszystkie przypadki.
Wyznacz wszystkie wartości parametru , dla których równanie
ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste spełniające warunek
Rozważamy wszystkie graniastosłupy prawidłowe trójkątne o objętości 3456, których krawędź podstawy ma długość nie większą niż .
-
Wykaż, że pole powierzchni całkowitej graniastosłupa w zależności od długości krawędzi podstawy graniastosłupa jest określone wzorem
-
Wyznacz długość krawędzi podstawy tego z rozważanych graniastosłupów, którego pole powierzchni całkowitej jest najmniejsze. Oblicz to najmniejsze pole.