/Szkoła średnia

Próbny Egzamin Maturalny
z Matematyki Zestaw przygotowany przez serwis zadania.info poziom rozszerzony 21 marca 2020 Czas pracy: 180 minut

Zadania zamknięte

Zadanie 1
(1 pkt)

Iloczyn wszystkich rzeczywistych pierwiastków równania

(3x2 + x − 5)(5x 2 + x + 7)(7x 2 + x− 3) = 0

jest równy
A) 5 7 B) 1 C) -1 21 D) − 1

Zadanie 2
(1 pkt)

Liczba sin 105∘sin 15∘ jest równa
A) 14 B) − 14 C) √ - -43 D) √ - --3 − 4

Zadanie 3
(1 pkt)

Liczba punktów wspólnych wykresów funkcji y = −x − 1 i y = log 2(−x ) jest równa
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3

Zadanie 4
(1 pkt)

Nieskończony ciąg geometryczny (an) spełnia warunki: a = 3 1 5 oraz a = 4⋅a − 4⋅ an n+2 3 n+ 1 9 dla n ≥ 1 . Suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa
A) -9 10 B) 10- 9 C) 9 5 D) 53

Zadanie 5
(1 pkt)

Kasia wykonała rzut trzema sześciennymi kostkami do gry i otrzymała sumę oczek większą niż 16. Prawdopodobieństwo, że Kasia wyrzuciła trzy szóstki jest równe
A) -1 54 B) 1 6 C) -1- 216 D) 14

Zadania otwarte

Zadanie 6
(2 pkt)

Wyznacz maksymalne przedziały monotoniczności funkcji f(x ) = x22+3 x −1 .

Zadanie 7
(2 pkt)

Liczby naturalne a,b ,c są większe od 1 oraz są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego. Liczba x spełnia warunek

--1--- --1--- --1--- lo g x + lo g x + lo g x = 1. a b c

Wykaż, że x jest sześcianem liczby naturalnej.

Zadanie 8
(3 pkt)

Na okręgu o środku S wybrano punkty A ,B,C ,D ,E w ten sposób, że odcinek AB jest średnicą okręgu oraz |∡BCD | = |∡BEC | (zobacz rysunek).

PIC

Wykaż, że proste AB i CD są prostopadłe.

Zadanie 9
(3 pkt)

Oblicz granicę (√ - 3√- √ - √3-) lim -√n3+--n − --n3√−2--n n→+ ∞ n+2 n− 1 .

Zadanie 10
(3 pkt)

Rozważamy wszystkie liczby naturalne pięciocyfrowe zapisane przy użyciu cyfr 4, 5, 6, 7, 8 bez powtarzania jakiejkolwiek cyfry. Oblicz sumę wszystkich takich liczb.

Zadanie 11
(3 pkt)

Okrąg o ma środek O i jest styczny prostej y = − 2x + 4 w punkcie A = (1,2 ) . Wyznacz równanie okręgu o , jeżeli −→ OA = [2,1] .

Zadanie 12
(3 pkt)

Funkcja f określona jest wzorem f(x ) = − 2x2 + 3x + 1 dla każdej liczby rzeczywistej x . Wyznacz równania tych stycznych do wykresu funkcji f , które przechodzą przez punkt (− 2,5) .

Zadanie 13
(4 pkt)

Rozwiąż równanie (sin x)⋅[co s(x − π-)+ cos(x + π)] = 3co sx 6 6 2 .

Zadanie 14
(4 pkt)

Punkt D leży na boku BC trójkąta ABC oraz |AB | = 14 , |BD | = 1 2 , |CD | = 239 i √ --- |AC | = 4 1 5⋅|AD | . Oblicz pole trójkąta ABC .

Zadanie 15
(5 pkt)

Podstawą ostrosłupa jest trójkąt o danych kątach α i β . Wszystkie krawędzie boczne mają długość d i są nachylone do płaszczyzny podstawy pod kątem o mierze δ . Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Zadanie 16
(6 pkt)

Wyznacz wszystkie wartości parametru m , dla których równanie

2 2 x + (2 − 3m )x + 2m − 5m − 3 = 0

ma dwa różne rozwiązania, których suma odwrotności jest mniejsza od 10 9- .

Zadanie 17
(7 pkt)

Rozpatrujemy wszystkie czworokąty ABCD , które są jednoczenie wpisane w okrąg i opisane na okręgu, w których |AB | = 2x , |BC | = 5x , i których obwód jest równy 10.

Pole czworokąta ABCD wpisanego w okrąg można obliczyć ze wzoru Brahmagupty

∘ ----------------------------- P = (p − a)(p − b)(p − c)(p − d ),

gdzie p – jest połową obwodu czworokąta.

Zapisz pole czworokąta ABCD jako funkcję zmiennej x . Wyznacz dziedzinę tej funkcji i oblicz długości boków tego z rozważanych czworokątów, którego pole jest największe.

Arkusz Wersja PDF
Rozwiązania