/Szkoła średnia

Egzamin Maturalny
z Matematyki (termin dodatkowy)
poziom podstawowy 2 czerwca 2023 Czas pracy: 180 minut

Zadanie 1

(1 pkt)

Wszystkich liczb całkowitych dodatnich spełniających nierówność |x+ 5| < 15 jest
A) 9 B) 10 C) 20 D) 21

Zadanie 2

(1 pkt)

Dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej iloczyn √ -- 3√ -- 6√ -- x ⋅ x⋅ x jest równy
A) B) 1√0-- x C) 1√8-- x D)

Zadanie 3

(2 pkt)

Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej reszta z dzielenia liczby 49k2 + 7k − 2 przez 7 jest równa 5.

Zadanie 4

(1 pkt)

Klient wpłacił do banku 30 000 zł na lokatę dwuletnią. Po każdym rocznym okresie oszczędzania bank dolicza odsetki w wysokości 7% od kwoty bieżącego kapitału znajdującego się na lokacie. Po dwóch latach oszczędzania łączna wartość doliczonych odsetek na tej lokacie (bez uwzględniania podatków) jest równa
A) 2100 zł B) 2247 zł C) 4200 zł D) 4347 zł

Zadanie 5

(1 pkt)

Liczba log 1 + log 4 28 2 jest równa
A) (− 1) B) 1 2 C) 2 D) 5

Zadanie 6

(1 pkt)

Liczba √ --2 √ --2 (1+ 5) − (1− 5) jest równa
A) 0 B) (− 10) C) √ -- 4 5 D) -- 2 + 2√ 5

Zadanie 7

(1 pkt)

Dla każdej liczby rzeczywistej różnej od 0 i 2 wyrażenie -x2+x-⋅ x−2- (x−2)2 x jest równe
A) x2+1 x−2 B) x+1- 2 C) --x2-- (x− 2)2 D) x+1- x−2

Zadanie 8

(2 pkt)

Rozwiąż nierówność x (2x − 1) < 2x .

Zadanie 9

(3 pkt)

Rozwiąż równanie 3 2 x + 4x − 9x − 36 = 0 .

Zadanie 10

(1 pkt)

Równanie (x2−-3x)(x+2)- x2−4 = 0 w zbiorze liczb rzeczywistych ma dokładnie
A) jedno rozwiązanie. B) dwa rozwiązania.
C) trzy rozwiązania. D) cztery rozwiązania.

Zadanie 11

(1 pkt)

W kartezjańskim układzie współrzędnych (x ,y) wykresy funkcji liniowych f(x) = (2m + 3)x + 5 oraz g (x ) = −x nie mają punktów wspólnych dla
A) m = − 2 B) m = −1 C) m = 1 D) m = 2

Zadanie 12

(1 pkt)

W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) prosta o równaniu y = ax + b przechodzi przez punkty A = (− 3,− 1) oraz B = (4,3) . Współczynnik w równaniu tej prostej jest równy
A) (− 4) B) ( 1) − 2 C) 2 D) 4 7

Informacja do zadań 13.1 – 13.3

W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) narysowano wykres funkcji y = f(x ) (zobacz rysunek).

Zadanie 13.1

(1 pkt)

Dziedziną funkcji jest zbiór
A) [− 3,− 1]∪ [1,3] B) (− 3,3) C) (− 3,− 1)∪ (1,3)

D) [− 5,− 1]∪ [1,5] E) (− 5,5) F) (− 5,− 1)∪ (1,5)

Zadanie 13.2

(1 pkt)

Zbiorem wartości funkcji jest zbiór
A) [− 3,− 1]∪ [1,3] B) (− 3,3) C) (− 3,− 1)∪ (1,3)

D) [− 5,− 1]∪ [1,5] E) (− 5,5) F) (− 5,− 1)∪ (1,5)

Zadanie 13.3

(1 pkt)

Zapisz poniżej zbiór wszystkich rozwiązań nierówności f(x ) < − 1 .

Zadanie 14

(1 pkt)

Funkcja kwadratowa jest określona wzorem f(x) = ax 2 + bx + 1 , gdzie oraz są pewnymi liczbami rzeczywistymi, takimi, że a < 0 i b > 0 . Na jednym z rysunków A–D przedstawiono fragment wykresu tej funkcji w kartezjańskim układzie współrzędnych (x ,y) . Fragment wykresu funkcji przedstawiono na rysunku

ZINFO-FIGURE

Informacja do zadań 15.1 i 15.2

Masa leku zażytego przez chorego zmienia się w organizmie zgodnie z zależnością wykładniczą

m (t) = m 0 ⋅(0,6 )0,25t,

gdzie:

– masa (wyrażona w mg) przyjętej w chwili dawki leku,
– czas (wyrażony w godzinach) liczony od momentu zażycia leku.

Zadanie 15.1

(1 pkt)

Chory przyjął jednorazowo lek w dawce 200 mg. Oblicz, ile mg leku pozostanie w organizmie chorego po 12 godzinach od momentu przyjęcia dawki.

Zadanie 15.2

(1 pkt)

Liczby m (2,5) , m (4,5) , m (6,5) w podanej kolejności tworzą ciąg geometryczny. Oblicz iloraz tego ciągu.

Zadanie 16

(1 pkt)

Ciąg (an) jest określony wzorem a = n−2- n 3 dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1 . Liczba wyrazów tego ciągu mniejszych od 10 jest równa
A) 28 B) 31 C) 32 D) 27

Zadanie 17

(1 pkt)

Trzywyrazowy ciąg (1,4,a + 5) jest arytmetyczny. Liczba jest równa
A) 0 B) 7 C) 2 D) 11

Zadanie 18

(1 pkt)

Ciąg geometryczny (an) jest określony dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1 . W tym ciągu a = 3,75 1 oraz a2 = − 7 ,5 . Suma trzech początkowych wyrazów ciągu (an ) jest równa
A) 11,25 B) (− 18,75 ) C) 15 D) (− 15)

Zadanie 19

(1 pkt)

Dla każdego kąta ostrego wyrażenie cosα − co sα ⋅sin2α jest równe
A) cos3α B) sin2 α C) 2 1 − sin α D) cosα

Zadanie 20

(2 pkt)

Dany jest trójkąt, którego kąty mają miary ∘ 30 , ∘ 45 oraz ∘ 105 . Długości boków trójkąta, leżących naprzeciwko tych kątów są równe – odpowiednio – , oraz (zobacz rysunek).

ZINFO-FIGURE

Wybierz dwie właściwe odpowiedzi spośród oznaczonych literami A–F. Pole tego trójkąta poprawnie określa wyrażenie
A) √-2 2 ⋅ a⋅c B) 1 4 ⋅a ⋅c C) √ - --2⋅ a⋅c 4

D) √-3 4 ⋅ b⋅c E) 1 2 ⋅b ⋅c F) 14 ⋅b⋅c

Zadanie 21

(1 pkt)

Odcinek jest średnicą okręgu o środku . Prosta jest styczna do tego okręgu w punkcie . Prosta przecina ten okrąg w punktach i . Proste i przecinają się w punkcie , przy czym |BC | = 4 i |CD | = 3 (zobacz rysunek).

ZINFO-FIGURE

Odległość punktu od prostej jest równa
A) 7 2 B) 5 C) √ --- 12 D) √ -- 3 + 2

Zadanie 22

(1 pkt)

W trapezie ABCD o podstawach i przekątne przecinają się w punkcie (zobacz rysunek).

ZINFO-FIGURE

Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, lub F – jeśli jest fałszywe.

Trójkąt jest podobny do trójkąta .	P	F
Pole trójkąta jest równe polu trójkąta .	P	F

Zadanie 23

(1 pkt)

Na łukach i okręgu są oparte kąty wpisane ADB i DBC , takie, że ∘ |∡ADB | = 20 i |∡DBC | = 40∘ (zobacz rysunek). Cięciwy i przecinają się w punkcie .

ZINFO-FIGURE

Miara kąta DKC jest równa
A) 80∘ B) 6 0∘ C) 50∘ D) 40∘

Zadanie 24

(1 pkt)

Pole trójkąta równobocznego jest równe √- (1,5)2⋅-3- 4 . Pole trójkąta równobocznego jest równe 2√ - (4,5)-⋅-3 4 .
Dokończ zdanie tak, aby było prawdziwe. Wybierz odpowiedź A albo B oraz jej uzasadnienie 1, 2 albo 3.
Trójkąt jest podobny do trójkąta w skali

A) 3,

B) 9,

ponieważ

1)	każdy z tych trójkątów ma dokładnie trzy osie symetrii.
2)	pole trójkąta jest 9 razy większe od pola trójkąta .
3)	bok trójkąta jest o 3 dłuższy od boku trójkąta .

Zadanie 25

(1 pkt)

Pole równoległoboku ABCD jest równe -- 40√ 6 . Bok tego równoległoboku ma długość 10, a kąt ABC równoległoboku ma miarę ∘ 13 5 (zobacz rysunek).

ZINFO-FIGURE

Długość boku jest równa
A) √ -- 8 3 B) √ -- 8 2 C) 16 √ 2- D) 16√ 3-

Zadanie 26

(1 pkt)

Funkcja liniowa jest określona wzorem f(x) = −x + 1 . Funkcja jest liniowa. W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) wykres funkcji przechodzi przez punkt P = (0,− 1) i jest prostopadły do wykresu funkcji . Wzorem funkcji jest
A) g(x ) = x+ 1 B) g(x) = −x − 1 C) g(x ) = −x + 1 D) g (x) = x − 1

Zadanie 27

(1 pkt)

W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) punkty A = (− 1,5) oraz C = (3,− 3) są przeciwległymi wierzchołkami kwadratu ABCD . Pole kwadratu ABCD jest równe
A) √ --- 8 10 B) √ -- 16 5 C) 40 D) 80

Zadanie 28

(1 pkt)

W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) dane są punkty A = (1,7) oraz P = (3 ,1) . Punkt dzieli odcinek tak, że |AP | : |PB | = 1 : 3 . Punkt ma współrzędne
A) (9,− 5) B) (9,− 17) C) (7,− 11) D) (5,− 5)

Informacja do zadań 29.1 i 29.2

Dany jest ostrosłup, którego podstawą jest kwadrat o boku 6. Jedna z krawędzi bocznych tego ostrosłupa ma długość 12 i jest prostopadła do płaszczyzny podstawy.

Zadanie 29.1

(1 pkt)

Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Zadanie 29.2

(1 pkt)

Tangens kąta nachylenia najdłuższej krawędzi bocznej tego ostrosłupa do płaszczyzny podstawy jest równy
A) √ -- 2 B) √- -6- 3 C) √- -2- 2 D) √ - -33

Zadanie 30

(1 pkt)

Dany jest graniastosłup prawidłowy sześciokątny ′ ′ ′ ′ ′ ′ ABCDEFA B C D E F , w którym krawędź podstawy ma długość 5. Przekątna AD ′ tego graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 45 ∘ (zobacz rysunek).

ZINFO-FIGURE

Pole ściany bocznej tego graniastosłupa jest równe
A) 12,5 B) 25 C) 50 D) 100

Zadanie 31

(1 pkt)

Wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych o sumie cyfr równej 3 jest
A) 8 B) 4 C) 5 D) 6

Zadanie 32

(2 pkt)

Ze zbioru ośmiu kolejnych liczb naturalnych – od 1 do 8 – losujemy kolejno bez zwracania dwa razy po jednej liczbie. Niech oznacza zdarzenie polegające na tym, że suma wylosowanych liczb jest dzielnikiem liczby 8. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia .

Zadanie 33

(4 pkt)

Działka ma kształt trapezu. Podstawy i tego trapezu mają długości |AB | = 400 m oraz |CD | = 1 00 m . Wysokość trapezu jest równa 75 m, a jego kąty DAB i ABC są ostre. Z działki postanowiono wydzielić plac w kształcie prostokąta z przeznaczeniem na parking. Dwa z wierzchołków tego prostokąta mają leżeć na podstawie tego trapezu, a dwa pozostałe – oraz – na ramionach i trapezu (zobacz rysunek).