/Szkoła średnia

Próbny Egzamin Maturalny
z Matematyki Zestaw przygotowany przez serwis zadania.info poziom rozszerzony 22 kwietnia 2023 Czas pracy: 180 minut

Zadanie 1
(3 pkt)

Rozwiąż równanie |5 − x|− |3x |+ 13 = 0 .

Zadanie 2
(4 pkt)

Dany jest nieskończony ciąg geometryczny (a ) n , określony dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1 . Suma trzech początkowych wyrazów ciągu (an) jest równa 26, a suma S wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa 27. Wyznacz wszystkie wartości n , dla których spełniona jest nierówność

| | ||S-−--Sn|| < 0,00 01, | Sn |

gdzie Sn oznacza sumę n początkowych wyrazów ciągu (an) .

Informacja do zadań 3.1 i 3.2

Dana jest funkcja kwadratowa 2 f(x ) = x − 2(k+ 7)x − k − 7 określona dla dowolnego x ∈ R .

Zadanie 3.1
(2 pkt)

Wykaż, że jeżeli funkcja f ma dwa różne miejsca zerowe: x1 i x 2 , to miejscami zerowymi funkcji 2 -1-- g(x) = x + 2x − k+7 , określonej dla x ∈ R , są liczby -1 x1 i -1 x2 .

Zadanie 3.2
(5 pkt)

Wyznacz wszystkie wartości parametru k , dla których funkcja y = f(x) ma dwa różne miejsca zerowe należące do przedziału (− 3,1) .

Zadanie 4
(3 pkt)

Oblicz granicę

9x 3 + 6x 2 + 6x+ 4 lim ---------------------. x→ − 2318x 3 + 1 2x2 − 3x − 2

Zadanie 5
(5 pkt)

Dany jest wielomian W (x) = 2x3 + ax2 + bx + c . Rozwiązaniem nierówności W (x) > 0 jest zbiór ( ) 1 − 1,− 2 ∪ (3,+ ∞ ) . Wyznacz resztę z dzielenia wielomianu W (x) przez dwumian 3− 2x .

Zadanie 6
(5 pkt)

Linia produkcyjna w fabryce elektroniki wytwarza jeden rodzaj kart graficznych. Aby produkcja była opłacalna, dzienna wielkość produkcji musi wynosić co najmniej 576 kart i nie może przekroczyć 620 kart (ze względu na ograniczone moce produkcyjne). Przy poziomie produkcji (576 + x) kart graficznych dziennie przeciętny koszt K (w złotych) wytworzenia jednej karty jest równy

2 3x2 − 103,5x + 42 4764 K (x) = ------------------------, gdzie x ∈ [0,44] 576+ x

Oblicz, ile kart graficznych powinna wytwarzać dziennie ta linia produkcyjna, aby przeciętny koszt produkcji jednej karty był najmniejszy (z zachowaniem opłacalności produkcji). Oblicz ten najmniejszy przeciętny koszt.

Zadanie 7
(4 pkt)

Rozwiąż równanie

sin-x = sin x. 3 3

Zadanie 8
(4 pkt)

Proste zawierające wysokości trójkąta ostrokątnego ABC przecinają boki BC , AC i AB tego trójkąta odpowiednio w punktach K , L i M . Wykaż, że jeżeli trójkąt MLK jest podobny do trójkąta ABC , to trójkąt ABC jest równoboczny.

Zadanie 9
(5 pkt)

Podstawą graniastosłupa prostego ABCDA 1B 1C1D 1 jest trapez równoramienny ABCD wpisany w okrąg o środku O i promieniu R . Dłuższa podstawa AB trapezu jest średnicą tego okręgu, a krótsza ma długość a (zobacz rysunek). Przekątna graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem o mierze α . Wyznacz objętość tego graniastosłupa jako funkcję promienia R , długości podstawy a i miary kąta α .

PIC

Zadanie 10
(6 pkt)

Punkt A = (− 3,4 ) jest wierzchołkiem rozwartokątnego trójkąta równoramiennego ABC , w którym |AC | = |BC | . Pole tego trójkąta jest równe 17,5 i wszystkie jego wierzchołki mają współrzędne całkowite. Bok BC zawarty jest w prostej o równaniu 6y− x+ 8 = 0 . Oblicz obwód trójkąta ABC .

Zadanie 11
(4 pkt)

Pracownik parkingu zanotował numery rejestracyjne piętnastu kolejnych samochodów, które wjechały na parking. Oblicz prawdopodobieństwo, że wśród tych piętnastu numerów rejestracyjnych co najwyżej 3 nie kończyły się cyfrą 7. Przyjmij, że każdy z numerów rejestracyjnych był zakończony cyfrą, i że wystąpienie każdej z dziesięciu cyfr na końcu numeru rejestracyjnego jest jednakowo prawdopodobne.

Arkusz Wersja PDF
Rozwiązania