/Szkoła średnia

Próbny Egzamin Maturalny
z Matematyki Zestaw przygotowany przez serwis zadania.info poziom rozszerzony 7 marca 2020 Czas pracy: 180 minut

Zadania zamknięte

Zadanie 1
(1 pkt)

Jeżeli log6 3 = a , to lo g23 równa się
A) -1-- a+ 1 B) -a-- a−1 C) --a- a+ 1 D) -a-- 1−a

Zadanie 2
(1 pkt)

Dane są trzy niewspółliniowe punkty: A = (1,1) , B = (6 ,2 ) , C = (4,5) . Ile jest wszystkich punktów D takich, że czworokąt o wierzchołkach w punktach A ,B ,C ,D jest trapezem prostokątnym?
A) 1 B) 3 C) 6 D) 4

Zadanie 3
(1 pkt)

Funkcja homograficzna f (x) = 1−x2+x1- , gdzie x ⁄= − 1 ,
A) jest rosnąca w zbiorze R ∖ {− 1} B) jest malejąca w zbiorze R ∖ {− 1}
C) nie przyjmuje wartości − 2 D) nie przyjmuje wartości 2

Zadanie 4
(1 pkt)

Niepuste zdarzenia losowe A i B zawarte w Ω są takie, że ′ A ⊆ B , gdzie ′ B oznacza zdarzenie przeciwne do zdarzenia B . Wynika stąd, że
A) P (A|B ) < P(B |A ) B) P (A |B )+ P(B |A ) = 1
C) P(A |B) = P(B |A ) D) P(A |B) > P (B|A )

Zadanie 5
(1 pkt)

Suma szeregu geometrycznego: 18 − 15 + 25-− ... 2 jest równa
A) 108 11 B) 33 C) 27 4 D) 108

Zadania otwarte

Zadanie 6
(2 pkt)

Funkcja f jest określona wzorem 3−-2x- f(x) = x2+ 2 dla każdej liczby rzeczywistej x . Wyznacz równanie stycznej do wykresu tej funkcji w punkcie o odciętej x = − 2 .

Zadanie 7
(2 pkt)

Udowodnij, że dla dowolnych dodatnich liczb rzeczywistych x i y , takich że x < y , i dowolnej dodatniej liczby rzeczywistej a < x , prawdziwa jest nierówność x+ y−a-> 2 y x−a .

Zadanie 8
(2 pkt)

W pojemniku ze słodyczami znajduje się 48 cukierków i 32 lizaki. Osiem lizaków i piętnaście cukierków ma smak jabłkowy, a pozostałe słodycze mają smak pomarańczowy. Z pojemnika wybrano losowo jeden słodycz (cukierek lub lizak) i okazało się, że ma smak pomarańczowy. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że wybrany słodycz jest lizakiem.

Zadanie 9
(3 pkt)

Oblicz granicę ( ) lim lo g2|x|− lo g3|x| x→0 .

Zadanie 10
(3 pkt)

Ciągi (an) i (bn) , gdzie n ≥ 1 , są ciągami arytmetycznymi. Ciąg (cn ) jest określony wzorem cn = anbn , dla n ≥ 1 , a ciąg (dn) ciągiem różnic dwóch kolejnych wyrazów ciągu (cn) : dn = cn+ 1 − cn , dla n ≥ 1 . Wykaż, że ciąg (dn) jest ciągiem arytmetycznym, którego różnica jest równa podwojonemu iloczynowi różnic ciągów (an) i (bn) .

Zadanie 11
(3 pkt)

Ile jest liczb naturalnych siedmiocyfrowych, w których każde trzy cyfry stojące obok siebie są parami różne.

Zadanie 12
(4 pkt)

Rozwiąż równanie sin 5x + 2 sin 2x + sinx = 1 w przedziale ⟨− π ,π⟩ .

Zadanie 13
(4 pkt)

Wykaż, że jeżeli długości a,b,c boków trójkąta spełniają równość

1 1 3 ------+ ----- = ---------, a+ b b + c a+ b+ c

to promień okręgu opisanego na tym trójkącie jest równy b√3- 3 .

Zadanie 14
(4 pkt)

Tworząca stożka jest nachylona do podstawy pod kątem α . Kula opisana na tym stożku ma promień R . Oblicz objętość tego stożka.

Zadanie 15
(6 pkt)

Ciąg (a,b,c) jest geometryczny, a ciągi (a+ 1,b− 3, 1c+ 7) 3 i (3a − 1,2b − 2,c − 3) są arytmetyczne. Oblicz a,b,c .

Zadanie 16
(5 pkt)

Punkt A = (9 ,1 ) jest wierzchołkiem rombu ABCD o polu 60. Przekątna BD zawiera się w prostej l o równaniu 2x − y − 7 = 0 . Wyznacz równanie okręgu wpisanego w ten romb.

Zadanie 17
(7 pkt)

Koszt godziny pływania pewnego rodzaju łodzi jest sumą kosztu stałego i kosztu zmiennego zależnego od prędkości łodzi. Wiadomo, że koszt stały jest równy 2880 zł/h, a koszt zmienny 0,18x3 zł/h , gdzie x > 0 oznacza prędkość łodzi (w km/h).

  • Przy jakich prędkościach łodzi koszt przepłynięcia 1 km będzie mniejszy niż 306 zł?
  • Przy jakiej prędkości łodzi koszt przepłynięcia 1 km będzie najmniejszy? Oblicz ten koszt.

Arkusz Wersja PDF
Rozwiązania