/Szkoła średnia

Poprawkowy Egzamin Maturalny
z Matematyki poziom podstawowy 22 sierpnia 2023 Czas pracy: 180 minut

Zadanie 1
(1 pkt)

Dana jest nierówność

|x − 5| < 2.

Na którym rysunku poprawnie zaznaczono na osi liczbowej zbiór wszystkich liczb rzeczywistych spełniających powyższą nierówność?

ZINFO-FIGURE

Zadanie 2
(1 pkt)

Liczba √ --- √ --- 3 45 − 20 jest równa
A) 1 (7 ⋅5) 2 B) 1 52 C) 7 D) 7 ⋅512

Zadanie 3
(1 pkt)

Liczba log25 1− 12 log25 5 jest równa
A) ( 1) − 4 B) ( 1) − 2 C) 1 4 D) 1 2

Zadanie 4
(2 pkt)

Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1 liczba 3n3 + 18n2 + 15n jest podzielna przez 6.

Zadanie 5
(1 pkt)

Wartość wyrażenia --3−1-- (− 1)−2 ⋅81 9 jest równa
A) 1 3 B) ( 1 ) − 3 C) 3 D) (− 3)

Zadanie 6
(1 pkt)

Wartość wyrażenia √ -- √ -- (2 − 3)2 − ( 3 − 2)2 jest równa
A) ( √ -) − 2 3 B) 0 C) 6 D) 8√ 3-

Zadanie 7
(1 pkt)

Dla każdej liczby rzeczywistej x różnej od 0 wartość wyrażenia -1 2x − x jest równa wartości wyrażenia
A) 1x B) 1−2xx- C) 1−-2x2 2x D) − -1 2x

Zadanie 8
(1 pkt)

Równanie (x2−-3x)(x2+1)= 0 x2−25 w zbiorze liczb rzeczywistych ma dokładnie
A) jedno rozwiązanie.
B) dwa rozwiązania.
C) trzy rozwiązania.
D) cztery rozwiązania.

Zadanie 9
(3 pkt)

Rozwiąż równanie 3x 3 − 2x 2 − 3x+ 2 = 0 .

Zadanie 10
(1 pkt)

W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) , punkt (− 8,6) jest punktem przecięcia prostych o równaniach
A) 2x + 3y = 2 i − x + y = − 14 B) 3x + 2y = − 12 i 2x + y = 10
C) x + y = − 2 i x − 2y = 4 D) x − y = − 14 i − 2x + y = 22

Zadanie 11
(1 pkt)

Miejscem zerowym funkcji liniowej f jest liczba 1. Wykres tej funkcji przechodzi przez punkt (− 1,4) . Wzór funkcji f ma postać
A) f(x ) = − 1x + 1 2 B) f (x) = − 1x + 1 3 3
C) f(x ) = − 2x+ 2 D) f (x) = − 3x + 1

Zadanie 12
(1 pkt)

Funkcja f jest określona dla każdej liczby rzeczywistej x wzorem -x−k f (x) = x2+ 1 , gdzie k jest pewną liczbą rzeczywistą. Ta funkcja spełnia warunek f (1) = 2 . Wartość współczynnika k we wzorze tej funkcji jest równa
A) (− 3) B) 3 C) (− 4) D) 4

Zadanie 13
(1 pkt)

Funkcja kwadratowa f jest określona wzorem f(x) = (x − 13 )2 − 25 6 . Jednym z miejsc zerowych tej funkcji jest liczba (− 3) . Drugim miejscem zerowym funkcji f jest liczba
A) (− 29) B) (− 23 ) C) 23 D) 29

Informacja do zadań 14.1 – 14.3

W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) narysowano wykres funkcji y = f(x ) (zobacz rysunek).

ZINFO-FIGURE
Zadanie 14.1
(1 pkt)

Funkcja f jest rosnąca w przedziale
A) [− 5,4] B) [5 ,7] C) [1,5] D) [− 1,5]

Zadanie 14.2
(1 pkt)

Wyznacz zbiór wszystkich argumentów, dla których funkcja f przyjmuje wartości większe od 1.

Zadanie 14.3
(1 pkt)

Funkcja g jest określona za pomocą funkcji f następująco: g(x ) = f(−x ) dla każdego x ∈ [− 7,− 5] ∪ [− 4,4 ]∪ [5 ,7] . Na jednym z rysunków A–D przedstawiono, w kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y ) , wykres funkcji y = g(x ) . Wykres funkcji y = g(x ) przedstawiono na rysunku

ZINFO-FIGURE

Zadanie 15
(2 pkt)

Funkcje A , B, C, D , E oraz F są określone dla każdej liczby rzeczywistej x . Wzory tych funkcji podano poniżej. Dokończ zdanie. Wybierz dwie właściwe odpowiedzi spośród podanych.
Przedział (− ∞ ,2] jest zbiorem wartości funkcji
A) 2 A (x) = − (x − 3) + 2 B) 2 B (x) = x + 2 C) 2 C (x ) = − 5(x − 2)

D) D (x) = (x − 2 )2 E) E(x) = 2x 2 − 8x+ 10 F) F (x) = − 2x 2 + 4x

Zadanie 16
(1 pkt)

Ciąg (an) jest określony wzorem an = (− 1)n ⋅ n+21 dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1 . Trzeci wyraz tego ciągu jest równy
A) 2 B) (− 2) C) 3 D) (− 1)

Zadanie 17
(1 pkt)

Dany jest ciąg geometryczny (an) , określony dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1 . Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy 128, natomiast iloraz ciągu jest równy ( ) − 12 . Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, lub F – jeśli jest fałszywe.

Wyraz a2023 jest liczbą ujemną.PF
Różnica a3 − a2 jest równa 96. PF

Zadanie 18
(2 pkt)

Ciąg (3x2 + 5x ,x 2,20− x2) jest arytmetyczny. Oblicz x .

Zadanie 19
(1 pkt)

Kąt α jest ostry i √- cosα = 2-6- 7 . Sinus kąta α jest równy
A) 24 49 B) 5 7 C) 25 49 D) √ - -76

Zadanie 20
(1 pkt)

Trapez T 1 , o polu równym 52 i obwodzie 36, jest podobny do trapezu T2 . Pole trapezu T 2 jest równe 13. Obwód trapezu T 2 jest równy
A) 18 B) 9 C) 169 9 D) 523

Zadanie 21
(1 pkt)

Koło ma promień równy 3. Obwód wycinka tego koła o kącie środkowym ∘ 3 0 jest równy
A) 3π 4 B) 1 π 2 C) 3 4 π + 6 D) 1 2π + 6

Zadanie 22
(1 pkt)

W okręgu O kąt środkowy β oraz kąt wpisany α są oparte na tym samym łuku. Kąt β ma miarę o ∘ 40 większą od kąta α . Miara kąta β jest równa
A) 40∘ B) 80∘ C) 10 0∘ D) 12 0∘

Zadanie 23
(1 pkt)

W trójkącie ABC długość boku AC jest równa 3, a długość boku BC jest równa 4. Dwusieczna kąta ACB przecina bok AB w punkcie D . Stosunek |AD | : |DB | jest równy
A) 4 : 3 B) 4 : 7 C) 3 : 4 D) 3 : 7

Zadanie 24
(2 pkt)

Dany jest trapez równoramienny ABCD , w którym podstawa CD ma długość 6, ramię AD ma długość 4, a kąty BAD oraz ABC mają miarę ∘ 60 (zobacz rysunek).

ZINFO-FIGURE

Oblicz pole tego trapezu.

Zadanie 25
(1 pkt)

W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) dane są prosta k o równaniu 3 7 y = 4x − 4 oraz punkt P = (12,− 1) . Prosta przechodząca przez punkt P i równoległa do prostej k ma równanie
A) y = − 3x+ 8 4 B) y = 3x− 10 4 C) 4 y = 3x− 17 D) 4 y = − 3x + 15

Zadanie 26
(1 pkt)

W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) dany jest okrąg O o środku S = (−1 ,2) i promieniu 3. Okrąg O jest określony równaniem
A) (x − 1)2 + (y + 2)2 = 9 B) (x − 1)2 + (y + 2)2 = 3
C) 2 2 (x + 1) + (y − 2) = 9 D) 2 2 (x + 1) + (y − 2) = 3

Zadanie 27
(1 pkt)

W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) proste o równaniach:

  • √ -- y = 3x + 6

  • √ -- y = − 3x + 6

  • y = − √1-x − 2 3

przecinają się w punktach, które są wierzchołkami trójkąta KLM .
Dokończ zdanie tak, aby było prawdziwe. Wybierz odpowiedź A albo B oraz jej uzasadnienie 1, 2 albo 3.
Trójkąt KLM jest

A) równoramienny,B) prostokątny,

ponieważ

1)oś Ox przechodzi przez jeden z wierzchołków tego trójkąta i środek jednego z boków tego trójkąta.
2) dwie z tych prostych są prostopadłe.
3) oś Oy zawiera dwusieczną tego trójkąta.

Zadanie 28
(1 pkt)

W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) punkt A = (− 1 ,− 4 ) jest wierzchołkiem równoległoboku ABCD . Punkt S = (2,2) jest środkiem symetrii tego równoległoboku. Długość przekątnej AC równoległoboku ABCD jest równa
A) √ -- 5 B) √ -- 2 5 C) 3√ 5- D) 6√ 5-

Informacja do zadań 29.1 i 29.2

Każda krawędź graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego ma długość równą 6.

Zadanie 29.1
(1 pkt)

Pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa jest równe
A) √ -- 216 + 18 3 B) √ -- 216 + 54 3 C) √ -- 216 + 216 3 D) √ -- 216 + 1 08 3

Zadanie 29.2
(1 pkt)

Oblicz cosinus kąta nachylenia dłuższej przekątnej tego graniastosłupa do płaszczyzny podstawy graniastosłupa.

Zadanie 30
(1 pkt)

Wszystkich różnych liczb naturalnych czterocyfrowych, w których zapisie dziesiętnym wszystkie cyfry są różne, jest
A) 9 ⋅10 ⋅10 ⋅10 B) 9⋅8 ⋅7 ⋅6 C) 10 ⋅9⋅ 8⋅7 D) 9 ⋅9⋅8 ⋅7

Zadanie 31
(2 pkt)

Ze zbioru pięciu liczb {1 ,2,3,4,5} losujemy bez zwracania kolejno dwa razy po jednej liczbie. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A polegającego na tym, że obie wylosowane liczby są nieparzyste.

Zadanie 32
(1 pkt)

Na diagramie przedstawiono rozkład wynagrodzenia brutto wszystkich stu pracowników pewnej firmy za styczeń 2023 roku.

ZINFO-FIGURE

Średnia wynagrodzenia brutto wszystkich pracowników tej firmy za styczeń 2023 roku jest równa
A) 5 690 zł B) 5 280 zł C) 6 257 zł D) 5 900 zł

Zadanie 33
(4 pkt)

Zakład stolarski produkuje krzesła, które sprzedaje po 196 złotych za sztukę. Właściciel, na podstawie analizy rzeczywistych wpływów i wydatków, stwierdził, że:

  • przychód P (w złotych) ze sprzedaży x krzeseł można opisać funkcją P(x ) = 196x

  • koszt K (w złotych) produkcji x krzeseł dziennie można opisać funkcją

    2 K (x) = 4x + 4x + 240.

Dziennie w zakładzie można wyprodukować co najwyżej 30 krzeseł. Oblicz, ile krzeseł powinien dziennie sprzedawać zakład, aby zysk ze sprzedaży krzeseł wyprodukowanych przez ten zakład w ciągu jednego dnia był możliwie największy. Oblicz ten największy zysk.

Rozwiąż on-line Arkusz Wersja PDF
Rozwiązania