/Szkoła średnia

Egzamin Maturalny
z Matematyki (termin dodatkowy)
formuła 2015
poziom podstawowy 2 czerwca 2023 Czas pracy: 170 minut

Zadania zamknięte

Zadanie 1
(1 pkt)

Liczba 30 15 6 : 4 jest równa
A) (1,5)15 B) (1,5)2 C) 330 D) 30

Zadanie 2
(1 pkt)

Dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej x iloczyn √ -- √ -- √ -- x ⋅ 3 x⋅ 6 x jest równy
A) x B) 1√0x-- C) 1√8x-- D) 2 x

Zadanie 3
(1 pkt)

Klient wpłacił do banku 30 000 zł na lokatę dwuletnią. Po każdym rocznym okresie oszczędzania bank dolicza odsetki w wysokości 7% od kwoty bieżącego kapitału znajdującego się na lokacie. Po dwóch latach oszczędzania łączna wartość doliczonych odsetek na tej lokacie (bez uwzględniania podatków) jest równa
A) 2100 zł B) 2247 zł C) 4200 zł D) 4347 zł

Zadanie 4
(1 pkt)

Liczba 1 log 28 + log24 jest równa
A) (− 1) B) 12 C) 2 D) 5

Zadanie 5
(1 pkt)

Liczba √ --2 √ --2 (1+ 5) − (1− 5) jest równa
A) 0 B) (− 10) C) -- 4√ 5 D) √ -- 2 + 2 5

Zadanie 6
(1 pkt)

Do zbioru rozwiązań nierówności (x − 3 )(x − 2)(x+ 20) < 0 należy liczba
A) (− 20) B) (− 23 ) C) 20 D) 23

Informacja do zadań 7 i 8

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji f .

ZINFO-FIGURE
Zadanie 7
(1 pkt)

Dziedziną funkcji f jest zbiór
A) (− 3,− 1) ∪ (1,3) B) (− 3,3) C) (− 5,− 1)∪ (1 ,5) D) (− 5,5)

Zadanie 8
(1 pkt)

Zbiorem wartości funkcji f jest zbiór
A) (− 3,− 1) ∪ (1,3) B) [− 3,− 1]∪ [1,3]
C) (− 5,− 1)∪ (1 ,5) D) [− 5,− 1]∪ [1,5]

Zadanie 9
(1 pkt)

Funkcja f jest określona wzorem f(x ) = x2+4 x− 2 dla każdej liczby rzeczywistej x ⁄= 2 . Wartość funkcji f dla argumentu 4 jest równa
A) 6 B) 2 C) 10 D) 8

Zadanie 10
(1 pkt)

W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) prosta o równaniu y = ax + b przechodzi przez punkty A = (− 3,− 1) oraz B = (4,3) . Współczynnik a w równaniu tej prostej jest równy
A) (− 4) B) ( ) 1 − 2 C) 2 D) 4 7

Zadanie 11
(1 pkt)

W kartezjańskim układzie współrzędnych (x ,y) wykresy funkcji liniowych f(x) = (2m + 3)x + 5 oraz g (x ) = −x nie mają punktów wspólnych dla
A) m = − 2 B) m = −1 C) m = 1 D) m = 2

Zadanie 12
(1 pkt)

Funkcja kwadratowa f jest określona wzorem f(x) = ax 2 + bx + 1 , gdzie a oraz b są pewnymi liczbami rzeczywistymi, takimi, że a < 0 i b > 0 . Na jednym z rysunków A–D przedstawiono fragment wykresu tej funkcji w kartezjańskim układzie współrzędnych (x ,y) . Fragment wykresu funkcji f przedstawiono na rysunku

ZINFO-FIGURE

Zadanie 13
(1 pkt)

Ciąg (an) jest określony wzorem n−2- an = 3 dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1 . Liczba wyrazów tego ciągu mniejszych od 10 jest równa
A) 28 B) 31 C) 32 D) 27

Zadanie 14
(1 pkt)

Ciąg (an) , określony wzorem an = − 2n dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1 , jest
A) ciągiem arytmetycznym o różnicy 2.
B) ciągiem arytmetycznym o różnicy (− 2) .
C) ciągiem geometrycznym o ilorazie 2.
D) ciągiem geometrycznym o ilorazie (− 2 ) .

Zadanie 15
(1 pkt)

Trzywyrazowy ciąg (1,4,a + 5) jest arytmetyczny. Liczba a jest równa
A) 0 B) 7 C) 2 D) 11

Zadanie 16
(1 pkt)

Ciąg geometryczny (an) jest określony dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1 . W tym ciągu a 1 = 3,75 oraz a2 = − 7 ,5 . Suma trzech początkowych wyrazów ciągu (an ) jest równa
A) 11,25 B) (− 18,75 ) C) 15 D) (− 15)

Zadanie 17
(1 pkt)

Dla każdego kąta ostrego α wyrażenie 2 cosα − co sα ⋅sin α jest równe
A) 3 cos α B) 2 sin α C) 1 − sin2α D) cosα

Zadanie 18
(1 pkt)

Cosinus kąta ostrego α jest równy 23 . Wtedy tg α jest równy
A) √ - 2--5 5 B) √ - --5 2 C) 2 D) 1 2

Zadanie 19
(1 pkt)

Na łukach AB i CD okręgu są oparte kąty wpisane ADB i DBC , takie, że ∘ |∡ADB | = 20 i |∡DBC | = 40∘ (zobacz rysunek). Cięciwy AC i BD przecinają się w punkcie K .

ZINFO-FIGURE

Miara kąta DKC jest równa
A) 80∘ B) 6 0∘ C) 50∘ D) 40∘

Zadanie 20
(1 pkt)

Pole równoległoboku ABCD jest równe √ -- 40 6 . Bok AD tego równoległoboku ma długość 10, a kąt ABC równoległoboku ma miarę 13 5∘ (zobacz rysunek).

ZINFO-FIGURE

Długość boku AB jest równa
A) √ -- 8 3 B) √ -- 8 2 C) 16 √ 2- D) 16√ 3-

Zadanie 21
(1 pkt)

Odcinek AB jest średnicą okręgu o środku S . Prosta k jest styczna do tego okręgu w punkcie A . Prosta l przecina ten okrąg w punktach B i C . Proste k i l przecinają się w punkcie D , przy czym |BC | = 4 i |CD | = 3 (zobacz rysunek).

ZINFO-FIGURE

Odległość punktu A od prostej l jest równa
A) 7 2 B) 5 C) √ --- 12 D) √ -- 3 + 2

Zadanie 22
(1 pkt)

Funkcja liniowa f jest określona wzorem f(x) = −x + 1 . Funkcja g jest liniowa. W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) wykres funkcji g przechodzi przez punkt P = (0,− 1) i jest prostopadły do wykresu funkcji f . Wzorem funkcji g jest
A) g(x ) = x+ 1 B) g(x) = −x − 1 C) g(x ) = −x + 1 D) g (x) = x − 1

Zadanie 23
(1 pkt)

W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) dane są punkty A = (1,7) oraz P = (3 ,1) . Punkt P dzieli odcinek AB tak, że |AP | : |PB | = 1 : 3 . Punkt B ma współrzędne
A) (9,− 5) B) (9,− 17) C) (7,− 11) D) (5,− 5)

Zadanie 24
(1 pkt)

W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) punkty A = (− 1,5) oraz C = (3,− 3) są przeciwległymi wierzchołkami kwadratu ABCD . Pole kwadratu ABCD jest równe
A) √ --- 8 10 B) √ -- 16 5 C) 40 D) 80

Zadanie 25
(1 pkt)

Punkt ′ S = (3,7) jest obrazem punktu S = (3a − 1,b + 7) w symetrii osiowej względem osi Ox układu współrzędnych, gdy
A) 4 a = 3 oraz b = 0 B) 4 a = 3 oraz b = −1 4
C) a = − 23 oraz b = − 14 D) a = − 23 oraz b = 0

Zadanie 26
(1 pkt)

Objętość ostrosłupa prawidłowego trójkątnego o wysokości 8 jest równa √ -- 2 3 . Długość krawędzi podstawy tego ostrosłupa jest równa
A) 3 B) √6- 2 C) 1 D) √ -- 3

Zadanie 27
(1 pkt)

Dany jest graniastosłup prawidłowy sześciokątny ABCDEFA ′B′C ′D ′E′F′ , w którym krawędź podstawy ma długość 5. Przekątna AD ′ tego graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 45 ∘ (zobacz rysunek).

ZINFO-FIGURE

Pole ściany bocznej tego graniastosłupa jest równe
A) 12,5 B) 25 C) 50 D) 100

Zadanie 28
(1 pkt)

Średnia arytmetyczna zestawu pewnych stu liczb całkowitych dodatnich jest równa s . Każdą z liczb tego zestawu zwiększamy o 4, w wyniku czego otrzymujemy nowy zestaw stu liczb. Średnia arytmetyczna nowego zestawu stu liczb jest równa
A) s+ 4 B) s+ 1400 C) s+-4 100 D) 4s

Zadanie 29
(1 pkt)

Wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych o sumie cyfr równej 3 jest
A) 8 B) 4 C) 5 D) 6

Zadania otwarte

Zadanie 30
(2 pkt)

Rozwiąż nierówność x (2x − 1) < 2x .

Zadanie 31
(2 pkt)

Rozwiąż równanie (2x 2 + 3x )(x2 − 7) = 0 .

Zadanie 32
(2 pkt)

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej a i dla każdej liczby rzeczywistej b takiej, że b ⁄= a , prawdziwa jest nierówność

a 2 + 3b 2 + 4 > 2a+ 6b.

Zadanie 33
(2 pkt)

Wykresem funkcji kwadratowej f jest parabola o wierzchołku w punkcie A = (0,3) . Punkt B = (2,0) leży na wykresie funkcji f . Wyznacz wzór funkcji f .

Zadanie 34
(2 pkt)

W trójkącie prostokątnym równoramiennym ABC o przeciwprostokątnej BC punkt D jest środkiem ramienia AB . Odcinek CD ma długość 5 (zobacz rysunek).

ZINFO-FIGURE

Oblicz obwód trójkąta ABC .

Zadanie 35
(2 pkt)

Ze zbioru ośmiu kolejnych liczb naturalnych – od 1 do 8 – losujemy kolejno bez zwracania dwa razy po jednej liczbie. Niech A oznacza zdarzenie polegające na tym, że suma wylosowanych liczb jest dzielnikiem liczby 8. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A .

Zadanie 36
(5 pkt)

W trapezie równoramiennym ABCD podstawa CD ma długość 5. Punkt F = (3 ,1 1) jest środkiem odcinka CD . Prosta o równaniu y = − 4x+ 15 3 jest osią symetrii tego trapezu oraz ( 23- ) B = 2 ,8 . Oblicz współrzędne wierzchołka A oraz pole tego trapezu.

Rozwiąż on-line Arkusz Wersja PDF
Rozwiązania