/Szkoła średnia

Próbny Egzamin Maturalny
z Matematyki Zestaw przygotowany przez serwis www.zadania.info poziom rozszerzony 28 lutego 2015 Czas pracy: 180 minut

Zadania zamknięte

Zadanie 1
(1 pkt)

Wielomian W (x ) = (x + 2)5 − (x+ 1)5 zapisano w postaci W (x ) = a5x5 + a4x4 + a3x3 + a2x2 + a1x + a0 . Suma a5 + a4 + a3 + a2 + a1 + a0 jest równa
A) 275 B) 0 C) 1 D) 211

Zadanie 2
(1 pkt)

Pierwszy wyraz nieskończonego ciągu geometrycznego jest równy − 1 , a suma wszystkich jego wyrazów jest równa ilorazowi tego ciągu. Drugi wyraz tego ciągu jest równy
A) √- −-5−-1- 2 B) √- 1−--5- 2 C) √- 1+2-5 D) √ - --52−1

Zadanie 3
(1 pkt)

Funkcja określona dla każdej liczby rzeczywistej x wzorem f(x) = x4 + 4x− 1
A) ma więcej niż dwa minima lokalne.
B) ma dokładnie dwa minima lokalne.
C) ma dokładnie jedno minimum lokalne.
D) nie ma minimum lokalnego.

Zadanie 4
(1 pkt)

Wskaż równanie okręgu opisanego na trójkącie ABC o wierzchołkach A = (27,22 ) , B = (2 5,20) , C = (25,22 )
A) 2 2 x − 52x + y − 4 4y+ 1159 = 0
B) 2 2 x − 52x + y − 42y + 11 15 = 0
C) x2 − 50x + y 2 − 42y + 1065 = 0
D) x 2 − 5 0x+ y2 − 44y + 1065 = 0

Zadanie 5
(1 pkt)

Liczba co s415∘ + sin415 ∘ jest równa
A) 1 B) 7 8 C) 1 2 D) 3 2

Zadania otwarte

Zadanie 6
(2 pkt)

Rozwiąż równanie 3 ⋅|51− x|− 2⋅|x − 81| = 0 .

Zadanie 7
(2 pkt)

Oblicz ---1√--+ ---1√- + --1-- log2 36 log3 6 log36 .

Zadanie 8
(2 pkt)

Wyznacz punkty wspólne wykresów y = f(x) i ′ y = f (x) jeżeli 5x+ 55 f (x) = -x+-7 .

Zadanie 9
(2 pkt)

Prosta k przechodząca przez punkt przecięcia przekątnych trapezu ABCD przecina jego podstawy AB i CD odpowiednio w punktach E i F . Wykaż, że |AE| = -|CF| |EB| |FD| .

Zadanie 10
(3 pkt)

Oblicz granicę x2−8x− 20 lim --x6−64-- x→− 2 .

Zadanie 11
(3 pkt)

Wyznacz wszystkie wartości parametru m , dla których okrąg o równaniu (x − m )2 + (y − m )2 = m 2 jest styczny do prostej y = −x + 3 .

Zadanie 12
(3 pkt)

Sinus kąta jaki tworzą przekątne prostokąta o polu 60 jest równy 1157 . Oblicz obwód tego prostokąta.

Zadanie 13
(3 pkt)

Oblicz miarę kąta ostrego pod jakim przecinają się styczne do wykresu funkcji

√ -- √ -- 4 3 2 --3- 2 --3- y = 3x − 4x − 12x − 3 x + 3 x

poprowadzone w punktach o pierwszych współrzędnych równych x = − 1 i x = 2 .

Zadanie 14
(4 pkt)

Rozwiąż równanie --1-- = --1-- sin3x sin5x w przedziale ⟨ ⟩ − π, π- 2 2 .

Zadanie 15
(3 pkt)

Ciąg (an) , gdzie n ∈ N + , określony jest następująco:

{ a1 = 64 4a = an dla n ≥ 1. n+1

Wyznacz wszystkie wartości k , dla których suma k początkowych wyrazów ciągu (an) jest równa 1365 -16- .

Zadanie 16
(4 pkt)

Wykaż, że jeżeli α ≤ β ≤ γ są kątami wewnętrznymi trójkąta rozwartokątnego, to

sin2 α < sin2γ − sin2 β.

Zadanie 17
(7 pkt)

Z papierowego koła o promieniu R wycięto wycinek kołowy, który jest powierzchnią boczną stożka o maksymalnej objętości. Jaka była miara kąta środkowego α wyciętego wycinka? Wynik podaj w radianach.

PIC

Zadanie 18
(7 pkt)

Do windy na parterze budynku wsiadło 8 osób, po czym każda z nich w sposób losowy wysiadła na jednym z pięciu pięter budynku. Jakie jest prawdopodobieństwo, że na jednym z pięter wysiadło co najmniej 6 osób?

Arkusz Wersja PDF
Rozwiązania